ik heb al uren gezocht op een voorbeeld examenvraag en het vordert niets!!
de vraag is: geg: z4-4z3+mz2-256z+832=0 gevr: bepaal m (e R) opdat de vergelijking een complexe wortel zou hebben met modulus 8.
Ik heb kennis van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, worteltrekken en ontbinden ed. Ik geloof dat ik deze vgl eerst moet ontbinden,maar weet niet waar ik moet rekening houden met die modulus 8.daar zit het probleem.
Kathy
Student universiteit - woensdag 29 december 2004
Antwoord
Beste Kathy,
De 'gemakkelijkste' complexe getallen waarvan de modulus 8 is, zijn ongetwijfeld z = 8i en z = -8i. Dat moet je met me eens zijn. De 'gemakkelijkste' ontbinding zal dan (z2+64)(...) zijn. Want voor z = 8i geldt z2 = 64i2 = -64 dus een nulpunt. Hetzelfde geldt voor z = -8i.
Maar de tweede factor van de ontbinding moet nog worden ingevuld. In de oorspronkelijke functie staat z4 dus er zal wel een term met z2 in de tweede factor moeten staan. Ook staat er een constante term in de oorspronkelijke functie namelijk 832. Aangezien er in de eerste factor van de ontbonden functie al een 64 staat, zetten we in de tweede factor 832/64 = 13.
Eens kijken wat we tot nu toe hebben, (z2 + 64)(z2 + 13) dat levert al z4 + 77z2 + 832. Er moet nog een derdemacht-term verschijnen namelijk -4z3. We hebben in de eerste factor al een z2 dus laten we in de tweede factor eens -4z toevoegen... we krijgen dan (z2 + 64)(z2 -4z + 13). Als we dit uitwerken krijgen we z4 - 4z3 + 77z2 - 256z + 832. Waarmee we de term -256z er 'automatisch' bij krijgen!
Dus voor m = 77 is de modulus van twee complexe oplossingen 8.
