Hallo, Mijn vraag is de volgende: a. Bewijs dat:" x,y Îinterval( 0,p/2) waabij 0 en p/2 zelf niet inbegrepen zijn, de volgende identiteit: 1+2cos4y-(sin6x/sin2x)=16sin(x-y)sin(x+y)cos(x-y)cos(x+y).
b. hoeken a, b, en van de driehoek abc (met a¹b ) voldoen aan de betrekking: sin(3a)/sin(a)-2cos(2b)*-1=4cotg(c/2)*sin(b-a). Bewijs dat de driehoek rechthoekig is. Men mag de identiteit gebruiken die in a. gegeven is, zelfs als het bewijs ervan niet is uitgewerkt
hl
Ouder - maandag 20 december 2004
Antwoord
dag Hendrik,
Voor de eerste vraag maak je gebruik van de volgende goniometrische formules: 2sin(x)cos(x) = sin(2x) 2sin(a)sin(b) = cos(a-b) - cos(a+b) 2cos(a)sin(b) = sin(a+b) - sin(a-b)
Zo maak je van het rechterlid achtereenvolgens: 4sin(2x-2y)sin(2x+2y) = 2(cos(4y) - cos(4x)) Nu valt de term met cos(4y) dus uit de identiteit weg (links en rechts) en blijft alleen over (vermenigvuldig links en rechts met sin(2x)): sin(2x) - sin(6x) = -2cos(4x)sin(2x) waarvan de identiteit direct volgt uit de laatste formule.
Dan vraag b. Uit de identiteit van vraag a. (neem a=2x en b=2y) volgt dat het linkerlid gelijk is aan (zie eerste uitwerking van vraag a.): -4sin(a-b)sin(a+b) Volgens het gegeven is dit gelijk aan 4cotg(c/2)sin(b-a) waaruit volgt: sin(a+b) = cotg(c/2) Omdat het hier om een driehoek gaat (hoekensom is 180°), is sin(a+b) = sin(c) dus geldt: sin(c) = cotg(c/2) Noem c/2 = p Gebruik nu de formule voor sin(2p) en je krijgt: 2sin(p)cos(p) = cos(p)/sin(p) Het oplossen van deze laatste vergelijking levert: cos(p)=0 of cos(2p)=0 De eerste oplossing geeft: c=180°, en dat voldoet niet aan de eisen voor een driehoek. De tweede oplossing levert het gewenste resultaat. groet,
