\require{AMSmath}

Integreren van 1/(1+5x²)

Beste Wisfaq,

Ik heb een probleem met de integraal 1/(1+5x^2) dx
Ik gebruik de standaardintegraal 1/(x^2 + a^2) = 1/a * Arctan(x/a)
- 1/(x(5)^0.5)^2 + 1^2
I kom tot ArcTan[x(5)^0.5], maar de oplossing is 1/(5)^0.5 *ArcTan[x(5)^0.5]. Ik tast hier in het duister...

Ik heb ook problemen met 1/(x^2 * (1+x^2)^0.5) dx Hier gebruik ik de substitutie
x = tan y
y = arctan(x)
(1+ x^2) = 1/Cos(y)
dx = 1/(Cos(y))^2
Wanneer ik dit alles substitueer krijg ik Cos(y)/(Sin(y))^2 en dat is Cos(arctan(x))/(Sin(arctan(x)))^2 maar de oplossing is -1/Sin(arctan(x))

Als u me hierbij zou kunnen helpen heel graag!

Groetjes,

Loran

Loran
Student universiteit - maandag 20 december 2004

Antwoord

Opgave 1)
Als je naar die standaardprimitieve wilt moet je herschrijven naar deze vorm:
1/(1+5x²)=1/(5(¹/₅+x²)=¹/₅×((1/Ö5)²+x²)
Toepassen van de standaardprimitieve geeft dan:
¹/₅×1/(¹/_Ö5)×arctan(x/¹/_Ö5).
Opschonen levert Ö5/5×arctan(Ö5×x)=arctan(Ö5×x)/Ö5.

Het kan ook veel korter via de substitutie: u=Ö5×x, du=Ö5.dx, dus dx=1/Ö5×du
1/(1+5x²)dx=1/(1+(Ö5×x)².dx=1/(1+u²)du/Ö5=arctan(u)/Ö5=1/Ö5×arctan(Ö5×x).
Voor een vergelijkbare opgave zie: Primitieve bepalen.

Bij opgave 2)
Je bent vergeten Cos(y)/(Sin(y))^2 te primitiveren tot -1/sin(y), pas daarna terug substitueren.

hk
maandag 20 december 2004

©2001-2024 WisFaq