\require{AMSmath}

Logaritmische spiraal

kun je de poolvergelijking afleiden van een gegeven spiraal, wat moet je dan allemaal weten?

anno
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 16 december 2004

Antwoord

Hallo, Anno.
Volgens mijn Winkler Prins zijn er drie soorten spiralen, maar de hyperbolische laat ik even achterwege.
De spiraal van Archimedes heeft poolvergelijking r=aj met a groter dan 0. Bij deze spiralen is het dus zo dat een gegeven straal vanuit de oorsprong de spiraal snijdt in punten op afstand a·2p (want de straal heeft vergelijking j=j₀+2kp (kÎ₀); zoals je weet is r de afstand tot de oorsprong en j₀ de hoek die de straal maakt met de positieve x-as).
De logaritmische spiraal heeft vergelijking r=a·e^bj met a groter dan 0 en b niet 0. Als men nu weer een straal vanuit de oorsprong snijdt met deze spiraal, dan ligt het snijpunt met nummer k (kÎ₀) op afstand a·e^b(j₀+2kp) van de oorsprong, dus e^2pb keer zo ver als het snijpunt met nummer k-1 (voor k1).
Men noemt deze spiraal logaritmisch omdat de logaritme van r een lineaire functie van j is.
Je moet de waarden van a en b weten om de spiraal te kunnen tekenen. Als de spiraal gegeven is, vind je a als de afstand tot de oorsprong voor j=0, dus de afstand tussen de oorsprong en het dichtstbijzijnde andere snijpunt van de spiraal met de positieve x-as. Als je het bovenstaande goed gelezen hebt, moet je ook b kunnen vinden.

hr
vrijdag 17 december 2004

©2001-2024 WisFaq