\require{AMSmath}

Breuken splitsen

Ik heb de functie:

       x - 6
h(x) = -----
       x - 1

Nu wordt mij gevraagd de functie zodanig te herschrijven, dat ik de horizontale asymptoot zo kan aflezen.
Het schijnt y = 1 te zijn, maar ik zie niet hoe ik de breuk zo kan herschrijven (splitsen).

Bij voorbaat dank

Bart K
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 10 december 2004

Antwoord

Hier kan je de horizontale asymptoot gemakkelijk vinden door de limiet te nemen voor x naar + of - oneindig.
Aangezien teller en noemer beiden eerstegraads-veeltermen zijn in x, met kopcoëfficiënt 1, nadert deze breuk naar 1 voor x naar oneindig.
De redenering werkt zo. Een horizontale asymptoot is een horizontale lijn waar je functie naartoe nadert als x steeds groter of kleiner wordt. Vandaar de limiet. (Het verschil van de functiewaarde en de limietwaarde gaat dan naar 0)

Jij wilt de breuk anders gaan schrijven om tot dat resultaat de komen? Je kan de teller in twee splitsen door hem te schrijven als:

x-1-5     x-1       5           5
-----  =  ---  -  ----  = 1 -  ---
 x-1      x-1      x-1         x-1

En de laatste breuk nadert naar nul, dus de 1 blijft over.

Wat je nog kan doen is de regel van De L'Hospital toepassen, aangezien je bij limiet ¥/¥ bekomt. Leid je teller en noemer af krijg je de limiet van 1/1 = 1

Dit zijn dus drie manieren om hetzelfde te bekomen, al blijkt dat in Nederland de regel van De L'Hospital meestal niet gedoceerd wordt.

(Met dank aan mlb voor de aanvulling)

Koen

km
vrijdag 10 december 2004

©2001-2024 WisFaq