In een klokkengieterij hangt een gietpan met vloeibaar brons. Door de pan te kantelen loopt het metaal uit de pan in de gietvorm. (zie ook de examen opgave havo wiskunde B uit 1994). Als de vorm van de pan een afgeknotte piramide of een afgeknotte kegel is, hoe bereken je dan de hoeveelheid vloeistof die door het kantelen wegstroomd?
Het klopt dat de hoeveelheid vloeistof die wegstroomt afhangt van hoe schuin je de pan hout. De vraag is echter hoe kun je het uitgestroomde volume dan berekenen?
K. den
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 12 mei 2002
Antwoord
Sorry voor de 'wat late' beantwoording. We hebben de vraag uiteindelijk maar eens aan een klokkengieter voorgelegd: André Lehr, nu hoofdconservator van het Nationaal Beiaardmuseum (zie link). Deze schrijft het volgende:
Voor zover ik kan nagaan, is voor dit vraagstuk geen exacte oplossing mogelijk. De benaderde oplossing komt uit de stromingsleer, een technisch vak. Om een indruk daarvan te geven.
Stel je hebt een cilindrisch vat waarin een vloeistof met een hoogte h staat. Aan de onderzijde van de cilinder wordt horizontaal een ronde buis door de wand gestoken. Die buis heeft een lengte l en een straal r. Aangenomen wordt dat r vele malen kleiner is dan l zodat kwadratische termen van r verwaarloosd kunnen worden (en nu haakt de wiskundige natuurlijk af...). De versnelling van de zwaartekracht is g, de dichtheid van de vloeistof r en de viscositeit w van de vloeistof. De laatste grootheid is cruciaal want je kunt je voorstellen dat bij grote viscositeit de stroming trager is dan bij een lage waarde. Wanneer je de viscositeit verwaarloost, dus op 0 zet, komt er zelfs een geheel andere formule uit. Welnu:
met viscositeit is de stroming V per tijdseenheid:
en zonder viscositeit:
Wat opvalt is dat in het eerste geval r tot de vierde macht en in het tweede geval in het kwadraat voorkomt. In het tweede geval is ook l verdwenen. Maar het heeft allemaal met die viscositeit te maken. Bedenk verder dat het om benaderingsformules gaat. Een technicus kan daar uitstekend mee leven. Als het maar werkt, fluistert hij. De formules kunnen, zoals je zult begrijpen, ook voor uitloop-wateruurwerken gebruikt worden. Bij een groot aantal nauwkeurige metingen bleek dat bij water die viscositeit wel verwaarloosd mag worden. Bij brons daarentegen zal dat zeker niet mogen.
Ik ontleen deze wetenschap aan: E.Becker, Technische Strömungslehre (Stuttgart 1974) dat op de TU gebruikt wordt. In dat boek echter met geen woord gesproken over het uitgieten van een beker, c.q. gietpan. Ik weet alleen uit de praktijk dat de viscositeit inderdaad een grote rol speelt. Dus bijvoorbeeld hoe heter het brons, hoe minder schuin je de pan moet houden.
Overigens is er eigenlijk weinig speling in de stand omdat alles door een tuit wegloopt, op dezelfde wijze als uit een melkkoker (als die nog bestaan). Kortom, ik moet het antwoord eigenlijk schuldig blijven, maar wellicht is ook deze beschouwing van enig nut.
