\require{AMSmath}

Convergentie criteria

Geachte dame/heer,

Kunt u mij uitleggen waarom het covergeren van een rij niet voldoende is voor het convergeren van de bijbehorende reeks/somrij? Kunt u bewijzen dat de somrij van 1/n divergeert?

Gegroet, Pim

Pim Cl
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 9 december 2004

Antwoord

dag Pim,

Je geeft zelf al een voorbeeld van een convergente rij, waarvan de bijbehorende somrij niet convergeert.
Blijft nog over: bewijs dat de somrij van 1/n divergeert.
Je kunt aan de volgende aanpak denken.
¹/₃ + ¹/₄ ¹/₄ + ¹/₄ = ¹/₂
¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + ¹/₈ ¹/₈ + ¹/₈ + ¹/₈ + ¹/₈ = ¹/₂
¹/₉ + ¹/₁₀ + ¹/₁₁ + ¹/₁₂ + ¹/₁₃ + ¹/₁₄ + ¹/₁₅ + ¹/₁₆ ¹/₁₆ + ¹/₁₆ + ¹/₁₆ + ¹/₁₆ + ¹/₁₆ + ¹/₁₆ + ¹/₁₆ + ¹/₁₆ = ¹/₂
en zo kun je willekeurig lang verder gaan.
In elke volgende stap heb je tweemaal zoveel termen nodig om zeker boven de waarde ¹/₂ uit te komen, maar je komt er steeds wel.
Dus je kun op deze manier aantonen dat de somreeks groter wordt dan N·¹/₂, voor welke N dan ook. Daarmee is de divergentie aangetoond.
groet,

Anneke
donderdag 9 december 2004

©2001-2024 WisFaq