\require{AMSmath}

Zwaartepunt van een cirkelsector

Hoe kan ik het zwaartepunt vinden van een cirkelsector met een willekeurige hoek ß. Bijvoorbeeld een hoek ß=60° , dit is dan een zesde van de cirkel.
Dit zwaartepunt ligt dus op de bissectrice van die hoek ß , maar wat is nu de afstand op deze bisectrice?

tom
Iets anders - zaterdag 11 mei 2002

Antwoord

De straal van de cirkel (met een k!) doet niet ter zake; het gaat slechts om de verhoudingen. Laat de straal dus maar gelijk zijn aan 1, zodat de oppervlakte van de hele cirkel p is.
Eén cirkelsector heeft dus oppervlakte ¹/₆p

Leg nu de sector zó neer dat één zijde langs de x-as loopt (hoekpunt natuurlijk in de oorsprong nemen). Omdat tan60° = Ö3 is de vergelijking van de bovenste grenslijn
y = Ö3.x
(gebruikt wordt dat r.c. = tan)

De cirkelrand wordt gegeven door de formule

y = (1-x²)

De eerste coördinaat van het snijpunt van de lijn en de cirkel is dan ½.Dit kun je óf gewoon berekenen doorgelijkstellen óf je gebruikt dat cos60° = ½.
Nu moet je de twee volgende integralen berekenen (beide functievoorschriften worden met x vermenigvuldigd; zie je theorieboek):

de integraal van 0 tot ½ van de functie

3.x²

en vervolgens

de integraal van ½ tot 1 van de functie

x.(1-x²)

De primitieve van de eerste functie is vast geen probleem voor je, die van de tweede integraal wordt -1/3.(1-x²)^1½

Grenzen invullen zal toch ook geen probleem zijn; tel ten slotte beide integraalantwoorden bij elkaar op en deel dit nog door de oppervlakte van het gebied (zie boven).
Daarmee heb je de eerste coördinaat van het zwaartepunt.
De tweede is dan natuurlijk ook bekend, want je kent de vergelijking van de bissectrice. Bedenk bijv. dat de bissectrice een hoek van 30 graden met de x-as maakt, en omdat je de tangens van 30 graden kent ken je dus ook de richtingscoëfficiënt van de lijn.
Tip: kijk eens naar het herexamen VWO B1 en ook B1,2 van vorig jaar (kun je bijvoorbeeld downloaden op wiskunde.pagina.nl, inclusief de antwoorden).
Daar staat vrijwel precies hetzelfde probleem, zodat je de hierboven gezette stappen kunt herkennen.

MBL
maandag 13 mei 2002

©2001-2024 WisFaq