Ik had even een probleempje met het oplossen van de volgende vergelijking:
tan x = sin x
Ikzelf dacht het volgende, maar het antwoordenboek is daar niet mee eens:
tan x = sin x sin x/cos x = sin x sin x = sin x * cos X sin x * cos x - sin x = 0 sin x ( cos x - 1 ) = 0 sin x = 0 of cos x = 1 x = 0 + k.2p of x = p-0 + k.2p of x = 1 + k.2p of x = -1 + k.2p
dus: x = k.2p of x = p + k.2p of x = 1 + k.2p of x = -1+k.2p
Zijn deze antwoorden goed? kan ik er een paar nog wegstrepen/vereenvoudigen?
Alvast dank.
Hans.
Hans
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 30 november 2004
Antwoord
De eerste twee mogelijkheden, diegene die overeenkomen met sin(x)=0, zijn juist. Eigenlijk staat er: sin(x)=0 als x een even veelvoud is van p of een oneven veelvoud van p. Dat kan je dus in 1 uitdrukking schrijven: x=kp (met k geheel en niet dezelfde k als die jij gebruikte, schrijf k' als je je daar beter bij voelt).
Voor de andere vergelijking lijk je cos(x)=cos(1) op te lossen, ipv wat er staat, en dat is cos(x)=1=cos(0). Doe dat dus eens opnieuw. Je zal merken dat die vergelijking geen nieuwe oplossingen oplevert (want als cos(x)=1 dan is sin(x) zowiezo al zeker nul, denk aan sin2x+cos2x=1)
Wat hier geen problemen levert, maar waar je je van bewust moet zijn, zijn de gevaren door de stap waarin je beide leden vermenigvuldigt met cos(x). Als cos(x) nul zou zijn, speel je vals: je maakt een bewering waar die oorspronkelijk misschien niet waar was
Voorbeeld: 3 is niet 8, maar 3.0 is wel gelijk aan 8.0. Het zou fout zijn om uit 3.0=8.0 te besluiten dat 3=8.
Als je een dergelijke stap ergens maakt, doe je er dus goed aan te controleren of je gevonden oplossingen daadwerkelijk oplossingen zijn van de *oorspronkelijke* vergelijking en niet alleen oplossingen van een vergelijking die je hebt bekomen door hier en daar misschien wat gevaarlijke bewerkingen te doen.
