Voor calculus zijn we met lijnintegralen bezig. Hierbij geven ze de definitie van integratie van de diferentiaalvorm w = p(x,y)dx + q(x,y)dy als volgt:
De integraal van w (over gamma) wordt gegeven door de integraal van a naar b: (p(x(t),y(t))x'(t) + q(x(t),y(t)y'(t)) dt
Nu wordt er een voorbeeld gegeven: de diferentiaalvorm w = 2(x+y)dx + 6xy dy. Deze integreren ze over twee krommen. De eerste kromme (1) is de rechte lijn met beginpunt(0,0) en met(1,1) als eindpunt. De tweede bestaat uit het lijnstuk a met beginpunt (0,0) en eindpunt (0,1) samen met het lijnstuk b dat loopt van (0,1) tot (1,1).
Hierbij gaan ze parametiseren: - (t,t) voor kromme 1 - (0,t) voor kromme a - (t,1) voor kromme b
Nu vinden ze hiermee dat de integraal van w lopend over de kromme 1 uitkomt op 4
en dat de integraalvan w lopend over de kromme a en b uitkomt op 0 + 3 = 3
De parametisering kan ik nog volgen, maar hoe je dan met de eerst genoemde regel op de uitkomsten 4 en 3 uitkomt is mij een raadsel. Zou u mij hierbij kunnen helpen?
Loran
Student universiteit - woensdag 24 november 2004
Antwoord
Stap over van een beschrijving in x en y naar een in t. Zo wordt over de kromme 1
x=t en dus dx=dt y=t en dus dy=dt
zodat op de kromme 1
w = (4t+6t2)dt
Integreren over t van t=0 tot t=1 geeft 4.
Probeer nu zelf een gelijkaardige redenering voor de krommen a en b op te stellen.
