Nu in de elliptische meetkunde het vijfde postulaat niet meer geldig is gaat de stelling dat de hoekensom in een driehoek gelijk is aan 180° niet meer op, want deze stelling is gelijkwaardig aan het parallellenpostulaat.
Wat is dan de som van de hoeken in een driehoek. Ik heb gelezen dat het minder dan een gestrekte hoek is. Is er ook een maximum en een minimum?
Imke
3de graad ASO - zondag 21 november 2004
Antwoord
Het is juist meer dan een gestrekte hoek. Het bekendste model van elliptische meetkunde is de bolmeetkunde, waarbij de grote cirkels op de bol de 'lijnen' zijn (een grote cirkel is de snijcirkel van de bol met een plat vlak door het middelpunt van de bol). Ga eens uit van een aardbol met straal 1 en oppervlakte 4p. Neem nu de driehoek met als hoekpunten de noordpool en de twee punten op de evenaar op 0 en 90 graden oosterlengte, en als zijden de evenaar en de twee meridianen op 0 en 90 graden oosterlengte. Die heeft drie rechte hoeken, en dus hoekensom 270 graden, ofwel 3p/2 radialen. Het hoekteveel is 270-180=90 graden, ofwel p/2 radialen, en dat is tevens de oppervlakte van de driehoek. Dit geldt algemeen: een boldriehoek ABC met hoeken a, b, g (graden), heeft oppervlakte (a+b+g-180)*p/180, gelijk aan het hoekexces (hoekteveel) in radialen. Het bewijs daarvan haalt men uit het plaatje op http://www.petericepudding.com/boldriehoek.htm
