hoi! Ik ben bezig goniometrische vergelijkingen te oefenen. M.b.v. het tekenen van de grafieken komt het helemaal goed, maar op een andere manier niet. Zo snap ik dit voorbeeld niet eens:(: sin(x)=0 \to x=k+\pi (Vanwaar die k? Wat wordt ermee bedoeld?) sin(x) = 1/2 sin(x) = sin(\pi/6) sin(x) = sin(\pi/6+kx2\pi) sin(x) = sin(5\pi/6+kx2\pi) \to x = \pi/6 +kx2\pi\angle x=(5\pi)/6 +kx\pi
alvast hartstikke bedankt!
loesje
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 10 november 2004
Antwoord
als je de vergelijking sin(x)=0 wilt oplossen, kan het helpen het grafiekje van sin(x) er even bij te pakken:
sin(x)=0 wil eigenlijk zeggen: 'voor welke waarden van x is sin(x) gelijk aan nul', ofwel voor welke waarden van x snijdt sin(x) de x-as? Je ziet aan de grafiek dat op x=0 de grafiek de x-as snijdt, maar ook op x=\pi (@3,14), maar ook op x=2\pi (@6,26), maar ook op x=3\pi, etc....
het antwoord luidt samengevat: x=k.\pi (en geen k+\pi !) Wij gebruiken trouwens als maal-teken een puntje. Dan betekent die k dat k=1 mag zijn of k=2 of k=3, als het maar een geheel getal is. Merk op dat k ook -1 of -2 of -3 mag zijn want aan de negatieve kant loopt de grafiek ook gewoon door.
Nou sin(x)=1/2 Dit betekent: voor welke waarden van x snijdt de grafiek van sin(x) de lijn y=1/2? Om dit te begrijpen, moet je weer even een schetsje maken voor jezelf:
Je ziet aan het plaatje (plus eventuele tabel) dat voor x=1/6 \pi de sinusgrafiek de lijn y=1/2 snijdt. (het eerste rondje van links, in de tekening) Echter de sinus heeft een periode van 2\pi hetgeen betekent dat de grafiek zich iedere afstand 2\pi volledig herhaalt. Dus op x= 1/6\pi + 2\pi is er weer een snijpunt (het derde rondje van links), en op x= 1/6\pi + 4\pi etc..
dus x= 1/6\pi + k.2\pi met k=1,2,3,....
Kijk goed naar de tekening, want evenver aan weerszijden van de top van de grafiek gaat de grafiek door y=1/2 heen. dus niet alleen x=1/6\pi maar ook x=\pi- 1/6\pi is een geldige oplossing. ofwel x=5/6 \pi. aangezien de grafiek zich over afstand 2\pi herhaalt, is x= 5/6 \pi + 2\pi evengoed een oplossing. en ook x= 5/6 \pi + 4\pi, ..etc.
met andere woorden x= 5/6 \pi + k.2\pi (k=1,2,3,...) zijn eveneens oplossingen.
Dit alles samengevat, levert: x=1/6 \pi + 2.k.\pi\angle x= 5/6 \pi + 2.k.\pi met k=1,2,3,4,...
merk op dat het NIKS uitmaakt of je nou over k.2\pi spreekt, of over 2.k.\pi. Het is lood om oud ijzer.
