hoi! Ik ben bezig goniometrische vergelijkingen te oefenen. M.b.v. het tekenen van de grafieken komt het helemaal goed, maar op een andere manier niet. Zo snap ik dit voorbeeld niet eens:(: sin(x)=0 $\to$ x=k+$\pi$ (Vanwaar die k? Wat wordt ermee bedoeld?) sin(x) = 1/2 sin(x) = sin($\pi$/6) sin(x) = sin($\pi$/6+kx2$\pi$) sin(x) = sin(5$\pi$/6+kx2$\pi$) $\to$ x = $\pi$/6 +kx2$\pi$ $\angle$ x=(5$\pi$)/6 +kx$\pi$
alvast hartstikke bedankt!
loesje
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 10 november 2004
Antwoord
als je de vergelijking sin(x)=0 wilt oplossen, kan het helpen het grafiekje van sin(x) er even bij te pakken:
sin(x)=0 wil eigenlijk zeggen: 'voor welke waarden van x is sin(x) gelijk aan nul', ofwel voor welke waarden van x snijdt sin(x) de x-as? Je ziet aan de grafiek dat op x=0 de grafiek de x-as snijdt, maar ook op x=$\pi$ (@3,14), maar ook op x=2$\pi$ (@6,26), maar ook op x=3$\pi$, etc....
het antwoord luidt samengevat: x=k.$\pi$ (en geen k+$\pi$ !) Wij gebruiken trouwens als maal-teken een puntje. Dan betekent die k dat k=1 mag zijn of k=2 of k=3, als het maar een geheel getal is. Merk op dat k ook -1 of -2 of -3 mag zijn want aan de negatieve kant loopt de grafiek ook gewoon door.
Nou sin(x)=1/2 Dit betekent: voor welke waarden van x snijdt de grafiek van sin(x) de lijn y=1/2? Om dit te begrijpen, moet je weer even een schetsje maken voor jezelf:
Je ziet aan het plaatje (plus eventuele tabel) dat voor x=1/6 $\pi$ de sinusgrafiek de lijn y=1/2 snijdt. (het eerste rondje van links, in de tekening) Echter de sinus heeft een periode van 2$\pi$ hetgeen betekent dat de grafiek zich iedere afstand 2$\pi$ volledig herhaalt. Dus op x= 1/6$\pi$ + 2$\pi$ is er weer een snijpunt (het derde rondje van links), en op x= 1/6$\pi$ + 4$\pi$ etc..
dus x= 1/6$\pi$ + k.2$\pi$ met k=1,2,3,....
Kijk goed naar de tekening, want evenver aan weerszijden van de top van de grafiek gaat de grafiek door y=1/2 heen. dus niet alleen x=1/6$\pi$ maar ook x=$\pi$- 1/6$\pi$ is een geldige oplossing. ofwel x=5/6 $\pi$. aangezien de grafiek zich over afstand 2$\pi$ herhaalt, is x= 5/6 $\pi$ + 2$\pi$ evengoed een oplossing. en ook x= 5/6 $\pi$ + 4$\pi$, ..etc.
met andere woorden x= 5/6 $\pi$ + k.2$\pi$ (k=1,2,3,...) zijn eveneens oplossingen.
Dit alles samengevat, levert: x=1/6 $\pi$ + 2.k.$\pi$ $\angle$ x= 5/6 $\pi$ + 2.k.$\pi$ met k=1,2,3,4,...
merk op dat het NIKS uitmaakt of je nou over k.2$\pi$ spreekt, of over 2.k.$\pi$. Het is lood om oud ijzer.
