Wat is het getal e precies? Hoe kun je het definiëren? Hoe is men op het idee gekomen om ermee te werken? En hoe werk je er precies mee?
JA
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 28 april 2002
Antwoord
Er zijn meerdere manieren om e in te voeren. Het kan zuiver wiskundig maar ook wat meer praktisch. Ik zal hier een wat praktischer benadering beschrijven.
Het gaat om exponentiële functies, dus functies van het type f(x) = gx. (met g positief, maar ongelijk 1)
Alle grafieken van deze functies gaan door het punt (0,1), want g0 = 1 voor elke keuze van g.
Nu moet je op het scherm van je GR eens de grafieken van de functies f(x) = 2x en g(x) = 3x tekenen. Misschien staan ze trouwens ook wel ergens in je leerboek.
Nu moet je eens letten op de helling van de twee grafieken in het punt (0,1). De grafiek van f heeft een helling die net ónder 1 ligt, en de grafiek van g heeft een helling die net bóven 1 ligt.
Gebruik bijv. de optie dy/dx van je GR.
Maar: dan moet het toch mogelijk zijn om 'ergens' tussen 2 en 3 een grondtal g te kiezen waarbij de bijbehorende grafiek in het punt (0,1) een helling heeft die precies gelijk is aan 1!
Men heeft dat grondtal aangeduid met de letter e. Kwam mooi uit, want het is enerszijds de eerste letter van het woord exponent en anderszijds ook de eerste letter van Euler, de vermoedelijke ontdekker van het getal.
Dus: de functie f(x) = ex is een doodgewone exponentiële functie die met een helling 1 door het punt (0,1) gaat.
Als je met je GR even wat experimenteert, dan merk je al snel dat de waarde van e ergens in de buurt van 2,7 ligt. Tik maar eens de functie f(x) = 2,7x in en laat de machine de helling maar weer bepalen. Ik vond op mijn GR de waarde 0,993.
Nauwkeuriger onderzoek leert dat het getal e net zo'n vervelend getal is als √2 of als $\pi$, dat wil zeggen dat het aantal decimalen oneindig is en niet repeterend. Zolang je echter e laat staan, merk je daar natuurlijk niet zoveel van.
Nou is het feit dat de grafiek onder helling 1 door (0,1) gaat natuurlijk niet het allerbelangrijkst. Maar: uit die eigenschap kun je wel iets extreem belangrijk afleiden en wel het volgende.
Als je de functie f(x) = ex differentieert, dan krijg je precies dezelfde functie terug!
En bovendien: je kunt aantonen dat er geen enkele andere functie bestaat waarvan de grafiek door (0,1) gaat en waarbij de afgeleide ook gelijk is aan de functie zelf. Het feit dat de e-machtsfunctie en zijn afgeleide functie aan elkaar gelijk zijn is dus uniek te noemen.
Tja, en hoe werk je ermee?
Die vraag is bijna niet te beantwoorden, maar je zult ongetwijfeld heel veel functies tegenkomen waarbij de e-macht een rol speelt. En dat komt allemaal omdat de afgeleide zo fraai verbonden is met de functie zelf. Trouwens: ook de omgekeerde functie kom je dan natuurlijk vaak tegen.
Je weet dat exponentiële functies en logaritmische functies elkaars tegenpolen (inversen) zijn.
De tegengestelde functie van f(x) = ex wordt ook aangeduid met een eigen afkorting en men heeft daarvoor gekozen g(x) = lnx
Toepassingen van het getal e in de economie
