Ik ben mijn tentamen Calculus voor morgen aan het voorbereiden en ik kom éen opgave tegen die ik niet kan beantwoorden. Deze luidt:
|z-i|2(z-i)3 = -i
Bij de meeste opgaven heb ik wel een plan van aanpak, maar hier kom ik niet verder dan 'z-1' A te noemen, maar dan?
Als u me hierbij zou kunnen helpen: heel graag!
Groetjes,
Loran
Loran
Student universiteit - donderdag 28 oktober 2004
Antwoord
Hallo,
NB: onderaan (vanaf het vetgedrukte Nogal omslachtig) staat een eenvoudigere oplossingswijze...
Stel eens z-i = A = a+bi Dan staat er eigenlijk: |A|2A3=-i Of nog: (a2+b2)(a3+3a2bi-3ab2-b3i)=-i Dus (a5-3a3b2+a3b2-3ab4)+i(3a4b-a2b3+3a2b3-b5) = 0-1i Dus een stelsel: a5-3a3b2+a3b2-3ab4=0 3a4b-a2b3+3a2b3-b5=-1
Eerste vergelijking: je kan a voorop plaatsen, dus a=0 (en dan volgens de tweede vergelijking -b5=-1 dus b=1. En inderdaad: z-i=-i is een oplossing want |-i|2(-i)3=-i.)
a=0 ofwel a4-2a2b2-3b4=0. Deel door a4 (dat mag want a is niet nul) en noem t=b2/a2, dan krijg je een kwadratische vergelijking in t, namelijk: -3t2-2t+1=0 met oplossingen t=2 en t=-2/3. Dat laatste mag je vergeten want t=b2/a20.
Dus er rest nog t=b2/a2=2 of dus a2=b2/2. Vul dit in in de tweede vergelijking van het stelsel, je krijgt: 3b5/4+b5-b5=-1 Dus b5-4/3. Dan moet je daaruit nog even a berekenen en eens a en b in het stelsel invullen om te zien of het klopt.
Nogal omslachtig allemaal, dus misschien is het eenvoudiger eerst even te redeneren. |A|2A3=-i. Stel A=reiq (polaire of goniometrische voorstelling), dan komt dit neer op: r2r3e3iq = -i = e3pi/2 Dus r5 = 1 en 3q = 3p/2 + 2kp
Dus r=1 en q=p/2 of 7p/6 of 11p/6 We vinden dus ook hier weer drie oplossingen, waarvan de eerste A=i (dus z=2i)
0. 