Ik moet samen met wat medeleerlingen een PO maken over de periode van een breuk. We dachten op het goede spoor te zitten maar het klopt niet helemaal. We dachten dat bij een priemgetal de periode van een breuk gelijk is aan n-1. (dus bij 1 gedeelt door zeven krijg je: 0,142857142, hier is de periode dus 6, want 7-1 is 6. Maar dit klopt niet bij 1 gedeeld door 3 terwijl het een priemgetal is!!) Bestaat er een verband/formule? EN zo ook misshcien voor niet-priemgetallen?
Rutger
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 25 april 2002
Antwoord
Als de noemer van een onvereenvoudigbare(!) breuk een priemgetal is (niet deelbaar op 10), dan is het aantal repeterende cijfers gelijk aan een deler van (p-1). Als jullie noemer dan 7 is, dan is het aantal repeterende cijfers een deler van 6, en dat aantal is dus 1 of 2 of 3 of 6. Het is, zoals je al opmerkte, gelijk aan 6.
Bij je noemer 3 is het aantal dus een deler van 2, en dat is dus óf 1 óf 2. Het is in feite gelijk aan 1.
Nu iets preciezer, maar dus meteen een stuk moeilijker. Ik doe het voor aan de hand van een voorbeeld.
Stel dat je de breuk 1/11 hebt (de teller doet in feite niet ter zake, als de breuk maar niet te vereenvoudigen is). Het aantal repeterende cijfers moet dan dus 1, 2, 5, of 10 bedragen, want dat zijn de delers van 10 = 11 -1.
Nu moet je achtereenvolgens kijken wat de rest is als je de getallen 101, 102, 105 en 1010 deelt door je priemnoemer, dus door 11. Zodra er een keertje 1 uitkomt (en dat moet gebeuren!), ben je klaar.
Daar gaan we: 10 gedeeld door 11 heeft rest -1 (je komt 1 tekort) 102 = 100 gedeeld door 11 geeft rest 1, en dús ben je er. We kregen rest 1 bij de tweede macht van 10, en dan heeft de decimaalreeks een tweetal repeterende cijfers. En inderdaad: 1/11 = 0,09090909.....
Nog eentje: bekijk de breuk 1/13. Het aantal repetenten is dus deler van 12, en dat betekent dat het er 1, 2, 3, 4, 6, of 12 zijn. Kijk weer naar de resten van 101, 102, 103, 104, 106 en 1012 bij deling door 13.
10 gedeeld door 13 geeft rest -3, dus we moeten doorgaan. 100 gedeeld door 13 geeft rest 9, dus we moeten verder. 103 gedeeld door 13 geeft rest 12, dus doorgaan. 104 geeft bij deling door 13 rest 3, dus we zijn er nog niet. 106 geeft bij deling door 13 rest 1 (gelukkig!). De repeterende cijfers van 1/13 moeten dus een groep van 6 cijfers zijn. Tik 1/13 in en overtuig je ervan dat het klopt.
Je ziet: vrij ingewikkelde regels die allerlei verfijningen kennen, maar waarvan je je kunt afvragen of het praktisch nut heeft.
