Beste medebeantwoorder, Zit alweer uren te puzzelen en kom er maar niet uit. Wordt gek van de getallen Het probleem is als volgt: Ik heb: (871/1458 + 5/54·√(33))1/3 + 34/(81·(871/1458 + 5/54·√(33))1/3) - 4/9
Nu is dit ook volgens Maple gelijk aan 1. (wat een manier om 1 te noteren, maar goed).
Ik heb inmiddels het probleem kunnen reduceren tot het aantonen dat: 3√(3484+540·√(33)) + 3√(3484-540·√(33)) gelijk moet zijn aan 26.
Weet iemand hoe dit handmatig kan?
Alvast bedankt.
M.v.g. Peter
peter
Docent - donderdag 21 oktober 2004
Antwoord
Beste Peter,
De kern van het reduceren hier ligt in het bepalen van (871/1458 + 5/54·√(33))1/3, of met een beetje omrekenen (3484 + 540√(33))1/3/18.
Nu kunnen we kijken of er x en y in $\mathbf{Q}$ zijn zodat (x+y√(33))3 = 3484 + 540√(33). Dat zou de zaak sterk versimpelen.
We hebben (x+y√(33))3 = x3 + 3√(33)x2y + 99xy2 + 33√(33)y3.
Hieruit halen we x3+99xy2 = 3484 en 3x2y + 33y3 = 540. Door 540 maal de eerste vergelijking min 3484 maal de tweede vergelijking, daarna wat gemeenschappelijke delers wegdelen, en delen door y3, krijgen we
45t3 - 871t2 + 4455t - 9851 = 0
waarin t = x/y.
Met de Rational Root Theorem kunnen we nu vinden dat de noemer van een rationale oplossing voor t een deler moet zijn van 45, en de teller een deler van 9851 = 11·13·67. Het blijkt dan dat t=13 voldoet.
Substitueren van x=13y in x3+99xy2 = 3484 geeft y=1. En dus x=13.
Kortom, we hebben gevonden dat (871/1458 + 5/54·√(33))1/3 = (13 + √(33))/18.
Verder reduceren moet geen probleem zijn.
^^^·
Voor het door jou gereduceerde 3√(3484+540·√(33)) + 3√(3484-540·√(33)) heeft hk een soortgelijke methode gevonden.
Door z3=((a+b)1/3+(a-b)1/3)3 uit te rekenen, vind je dat dit getal een oplossing moet zijn van z3-408z-6968=0. Doordat 6968=8·13·67 kun je weer vrij snel tot de enige rationale oplossing van deze vergelijking komen.
