\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 27885

Re: Priemgetallen

Dank u wel. Ik heb alleen nog één vraagje.
Kunt u mij dat bewijs geven?

Ferdy
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - dinsdag 28 september 2004

Antwoord

Neem eens aan dat p het grootste priemgetal is. Neem dan het getal N = 1 x 2 x 3 x 4..... x p + 1, kortweg geschreven als p! + 1 (p! spreek je uit als p-faculteit)
Het is natuurlijk overduidelijk dat N groter is dan p.
Nu zijn er twee mogelijkheden.

Ten eerste: N zou een priemgetal kunnen zijn. Maar volgens ons uitgangspunt kan dat niet, want p was het allergrootste priemgetal en N p.

Ten tweede: N is géén priemgetal. Maar dan is N deelbaar door andere priemgetallen, en dat kunnen alleen maar priemgetallen zijn die maximaal gelijk aan p zijn (want p is de grootste!). Maar deze gedachte moet ook meteen weer verworpen worden, want je kunt direct zien dat bij de deling van N door een getal dat maximaal p is, er altijd een rest 1 overblijft. Maar, N móet deelbaar zijn door een priemgetal. Priemgetallen die maximaal p zijn, vallen af. Dan moet het dus een priemgetal zijn dat groter is dan p.

Je ziet: of je nu de redering onder ten eerste of onder ten tweede volgt: in beide gevallen kom je uit op de conclusie dat er een priemgetal boven p moet zijn. Dit botst met ons uitgangspunt dat p het grootste priemgetal was. Maar dan moet dat uitgangspunt dus fout zijn. Conclusie: p is niet de grootste; er is altijd weer een grotere.

MBL
donderdag 30 september 2004

©2001-2024 WisFaq