\require{AMSmath}

Snijpunten van (rechte) lijnen

Hallo,

Ik weet niet of ik hier aan op het juiste adres ben maar ik wil het volgende probleem oplossen:
Stel je voor (zie schema onder):

• Twee horizontale parrallele lijnen (a-b) en (c-d) op een xy-assenstelsel. De afstand tussen deze lijnen is gegeven. Ook de posities van de lijnen op de xy-assen zijn gegeven.
• Tussen deze lijnen zijn twee andere lijnen (1-2 en 3-4) getrokken van de bovenste naar de onderste horizontale lijn en deze lijnen kruisen elkaar. De posities van de punten 1,2,3 en 4 zijn ook bekend.

  y   | a--1------3----b
      |      \  /   
      |       *
      |      /  \   
      | c--4----2------d   
      | 
    --+---------------------x   
      |  

De vragen:

1. Hoe kom ik de exacte positie (x=?, y=?) van het snijpunt (*) van de lijnen 1-2 en 3-4 te weten?
2. Hoe kan ik de lengte van de lijnen 1-2 en 3-4 uitrekenen?
3. Kan ik te weten komen onder hoeveel graden de hoeken staan van de lijnen (1-2-4 en 2-4-3)?

De achtergrond: Ik wil een computerprogramma maken voor 'perspectief ' studies en bij het bedenken hiervan kom ik als snel tot de conclusie dat mijn wiskunde-kennis onvoldoende is. Ik ben 37 jaar en ik heb wel enige wiskunde gehad (HEAO) maar meetkunde heb ik nooit op dit niveau gedaan. Om bovenstaande problemen op te lossen wil ik dus niet alleen de 'droge' antwoorden; ik wil graag mijn wiskunde tot dat niveau brengen. Als iemand mij dus ook een webcursus of een boek kan aanbevelen...graag! Groetjes,

Ron he
Iets anders - donderdag 18 april 2002

Antwoord

Dat zijn een heleboel vragen tegelijk die je stelt!

Om met de eerste te beginnen:
je zult van de lijnen eerst een vergelijking moeten maken, bijvoorbeeld van de gedaante y = a.x + bOmdat je schrijft dat je de posities (ik neem aan dat je de coördinaten bedoelt) van de punten 1 t/m 4 kent, kun je de getallen a en b vinden. Jammer dat je die posities niet meestuurt, want nu moet ik ernaar raden.Stel echter dat het het volgende is: "punt 1" is (4,9) en "punt 2" is (6,3).

Vul dit allebei in bij de vorm y = a.x + b
Je krijgt: 9 = 4a + b en tevens 3 = 6a + b

Als je dit ónder elkaar schrijft en van elkaar aftrekt, dan krijg je: 6 = -2a zodat a = -3 en daarna b = 21
De vergelijking van de eerste lijn heb je dan: y = -3x + 21

Op dezelfde manier moet je de tweede lijn in zo'n vergelijkingsvorm gieten.
Het punt waar ze elkaar snijden (en dat is iets anders dan kruisen!) vind je nu door de twee vormen "aan elkaar gelijk te stellen".

Ik had zojuist als eerste lijn gekozen y = -3x + 21
Stel dat de tweede lijn oplevert: y = 2x - 9

Gelijkstellen geeft dan: -3x + 21 = 2x - 9 ofwel

-5x = -30 zodat x = 6 en daarna krijg je y = 3

Wat de tweede vraag betreft: je bedoelt de lengte van lijnstukken en niet van lijnen! Lijnen worden geacht oneindig lang door te lopen.
De afstand tussen twee punten gaat dan heel simpel:

trek de eerste coördinaten van elkaar af en kwadrateer dat, doe hetzelfde met de tweede coördinaten, tel beide resultaten op en trek tot slot de wortel. Je hebt hier in feite de stelling van Pythagoras te pakken.

Ik neem weer de punten (4,9) en (6,3).
Hun afstand is volgens dit recept:

Ö(4-6)² + (9-3)² = Ö(4+36) = Ö40

En ten slotte de derde vraag:

ik neem de twee verzonnen vergelijkingen van boven:

y = -3x + 21 en y = 2x - 9

De getallen voor de x spelen nu de hoofdrol. Men noemt ze de richtingscoëfficiënten.

Zonder verdere uitleg doe je het volgende: je tikt -3 in je rekenmachine in en vraagt vervolgens de bijpassende hoek op via shift tan.
Hetzelfde met het getal 2, dus shift tan 2.

De hoeken die je hebt afgelezen zijn de hoeken die de twee lijnen met de horizontale as maken.
Het feit dat er een negatieve hoek bij zit is niet verontrustend: het betekent dat de lijn omlaag loopt.

Uit het feit dat de som der hoeken in een driehoek altijd 180° is, kun je dan de gewenste hoek vinden.

Afrondend: dit type vraag zit ongeveer op het niveau 3 vwo/4havo.
Een leerboek van een dergelijk leerjaar zal je probleem waarschijnlijk wel oplossen.
In het engelstalige kun je in series als Schaums Outline ook veel boeken vinden die soms met honderden voorbeelden de lezer aan de hand meenemen.

MBL
donderdag 18 april 2002

©2001-2024 WisFaq