Wij moesten laatst als voorbereiding een zéér moelijke oefening oplossen. Ik kon hem niet oplossen en zelfs nu de leraar hem heeft uitgelegd begrijp ik hem nog niet! Hier komt hij: 'xÎ[3/2,5/2]\{2}:¦(x)= (x2-x-2)/(x√(x-2)2
Vraag: Kun je ¦in 2 zo definiëren dat ¦continu is in [3/2,5/2]?
Ik hoop dat jullie hem kunnen oplossen. Alvast bedankt
Maarte
3de graad ASO - zondag 26 september 2004
Antwoord
Dag Maarten
De continuïteit van f in [3/2,5/2] hangt volledig af van wat er in x=2 gebeurt. De oorspronkelijk functie f bestaat niet in 2, want als je f(2) uitrekent, dan moet je delen door nul en 'dat gaat niet'. Nu is de vraag of de functie f een sprong maakt in 2. Dit kan je weten door de limiet van f voor x-$>$2 uit te rekenen. Indien die niet bestaat (dat zou hier willen zeggen dat de linkerlimiet en rechterlimiet niet gelijk zijn), dan maakt de grafiek idd een sprong in 2. Dit is hier het geval, reken de limiet maar eens uit (laat je niet vangen door die wortel: √((x-2)2)=|x-2|) Je kan het ook duidelijk zien op de grafiek van f(x).
Je zou nu gemakkelijk moeten begrijpen dat, als f een sprong maakt in x=2, je onmogelijk f kan herdefiniëren in 2 zodat f continu is in 2...
Extra: er bestaan ook functies die niet bestaan voor een bepaalde x-waarde, vb in 2, maar die GEEN sprong maken in 2. In zulke gevallen kan je f wel herdefiniëren in x=2, namelijk f(2)=lim(x-$>$2)f(x), zodat f continue is in 2. Een vb van een dergerlijke functie is f(x)=(x2+4-4x)/(x-2).
