Opgave: Bepaal de punten die op afstand √14 liggen van elk van de punten A(1,0,3), B(2,-1,1) en C(3,1,2).
Oplossing: (0,2,0) en (4,-2,4)
Ik ben aan deze oefening begonnen, en ik kom op volgend stelsel van vergelijkingen:
x-y-2z+2=0 x+2y+z-4=0 2x+y-z-2=0
...en inderdaad, die oplossingen kloppen daarin. Het probleem is dat ik niet begrijp hoe die oplossingen uit bovenstaand stelsel volgen en ik weet ook niet of ik op de juiste manier bezig was.
Zou u me aub kunnen uitleggen hoe deze opgave opgelost dient te worden?
Heel erg bedankt, Khalid.
Khalid
Student Hoger Onderwijs België - woensdag 22 september 2004
Antwoord
Dag Khalid
Je hebt daar drie vergelijkingen. Elk van deze vergelijkingen bepalen een middelloodvlak tussen twee van de 3 gegeven punten. Alle punten op een middelloodvlak tussen 2 punten liggen op een gelijke afstand van die twee punten.
Als je dus de snijlijn bepaalt tussen die 3 middelloodvlakken, bekom je alle punten die op een gelijke afstand liggen van de drie gegeven punten. Dit kan je doen door bovenstaand stelsel op te lossen.
In feite heb je maar 2 middelloodvlakken nodig, de derde volgt uit de twee andere. Tel de 1e en 2e vergelijking maar eens op! Je zal zien dat je de derde bekomt. De derde vergelijking is dus overbodig (dit komt omdat de middelloodvlakken van 3 niet-collineaire punten elkaar altijd snijden in een rechte).
Kies er dus twee uit en je hebt de vergelijking van de rechte waarop alle punten die op gelijke afstand van de gegeven punten liggen, liggen. Je kiest bv voor de eerste 2 vergelijking. De vergelijking van de snijlijn (van de 3 middelloodvlakken) wordt dan:
x-y-2z+2=0 x+2y+z-4=0
Je moet nu de twee punten zoeken op die rechte, die op √14 liggen van de gegeven punten. Het volstaat te eisen dat die twee gezochte punten op √14 liggen van één van de gegeven punten, omdat alle punten op die rechte zoiezo op gelijk afstand van alle 3 de punten liggen. Je kan bv de rechte parametriseren en dan de parameter bepalen door middel van de zojuist vermelde eis.
De groene lijnen zijn de 3 middelloodvlakken van boven uit bekeken. De snijlijn van de 3 middelloodvlakken is de paarse rechte, die je op deze tekening van boven uit bekijkt. De middelloodvlakken (groen) en de snijlijn (paars) ervan, staan dus loodrecht op deze tekening (=loodrecht op je computerscherm). Deze opgave heeft 2 oplossingen, één punt als het ware voor je scherm en één als het ware achter je scherm.
