Een partieel geordende verzameling heeft onderstaand Hasse-diagram. We definiëren de operaties ∏ en È door x ∏ y = inf(x, y) en x È y = sup(x,y).
1
p q r
0
Lijnen lopen van 0 naar p,q en r. Van p,q en r naar 1.
a) Toon aan dat ∏ en È aan de absorptie-eigenschap x È (x ∏ y) = x voldoen. (Suggestie: handel eerst 0 af en 1 en gebruik ook de symmetrie.). b) Bewijs dat de distributieve eigenschappen niet voor ∏ en È gelden.
Barry
Student universiteit - woensdag 22 september 2004
Antwoord
Voor x en y heb je elk vijf mogelijkheden, dat zijn er totaal 25. Controleer voor elk der 25 paren (x,y) de absorptie-eigenschap. Bijvoorbeeld x=p, y=1. Dan xÈ(xÕy)= pÈ(pÕ1) = pÈp = p = x. Gebruik ook pÈq=1 en pÕq=0. Als je er van de 25 een stel gedaan hebt, merk je dat sommige controles "net zo" gaan als andere. Dan kun je volstaan met een verwijzing. Bij de distributieve eigenschappen heb je te maken met 125 drietallen (x,y,z). Je hoeft echter slechts één tegenvoorbeeld te vinden om te bewijzen dat de eigenschap niet geldt. Succes.
