\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 26979

Re: Wat voor soort getal is x met x^x=10

hallo

ik heb de grafiek getekend van y=x^x en krijg dan twee delen van (-1,-1) als x naar -oneindig gaat dan stijgt
de grafiek naar nul de x-as dus h.a.
tussen [-1,0) lijkt hij me dan niet gedefinieerd($\mathbf{C}$)
bij (0,1) moet die dan een open rondje krijgen dacht ik
(want nul tot de macht nul is toch niet gelijk aan 1)
als x daalt naar o stijgt hij wel naar 1
vanaf(1,1) stijgt hij gewoon snel omhoog
maar tussen 0 en 1 moet er een lokaal minimum zijn
want x=1/2 geeft 1/2√2 en ¹/₄ ook
terwijl daartussen x=1/3 ³√1/3 geeft die kleiner is.
hoe bepaal je nu dat lokale min ?
met de afgeleide gaat het niet dacht ik
want die functie wordt ook nooit nul toch?
groetjes ruben

ruben
Iets anders - vrijdag 17 september 2004

Antwoord

Hallo Ruben,

Het is wel vreemd dat je een beeld krijgt voor negatieve x-waarden. Want dat (-1)^-1=-1, daar kan ik nog inkomen. En (-2)^-2=1/4. Dus voor gehele getallen is er geen probleem. Al zie je al dat -1 een negatief beeld heeft, en -2 een positief, terwijl er tussen die twee duidelijk geen nulpunt zit.

Hoe zit het met breuken? Mijn GR geeft voor (-1/2)$^{-\frac{1}{2}}$ de oplossing (0,-√2). Complex dus. Is ook logisch als je het gaat uitwerken. Algemeen zou je voor breuken met een oneven noemer nog een reëel getal moeten uitkomen, al krijg ik hier zelfs voor (-1/3)^-1/₃ al een complex resultaat. En bij irrationale getallen is het al helemaal optimistisch om een reëel beeld te willen krijgen. Overigens, let toch maar op met gebroken machten van een negatief grondtal... Medebeantwoordster Anneke stuurde volgende redenering door:
-1 = (-1)³ = (-1)^(6/2) = √((-1)⁶) = √(1) = 1.
En probeer daar maar eens een speld tussen te krijgen :-)

Je hebt wel gelijk dat y naar nul nadert als x naar min oneindig gaat. Alleen doet y dat dan wel complex.
Zo is f(-10.1)=7·10^-11-2·10^-11i

Wat 0⁰ betreft, dat is nog een moeilijk geval, maar daarover staan al heel wat vragen op WisFaq. Tkomt er op neer dat 0^a nul is voor a$>$0 en b⁰ = 1 voor b niet nul. Dus als je a naar nul laat gaan, verwacht je 0⁰=0. Laat je b naar nul gaan, dan verwacht je 0⁰=1.

En dan dat lokale minimum waarnaar je op zoek bent, tussen 0 en 1. De afgeleide van y=x^x is wel te bepalen, als volgt:

y=x^x
y=e^ln(xx)
y=e^{x lnx}
y'=e^{x lnx} · (1+lnx) (kettingregel)
y'=x^x(1+lnx)

Wanneer is dus y'=0? Als x^x=0, maar dat gebeurt dus enkel op min oneindig; of als 1+lnx=0, dus lnx=-1, dus x=1/e=0.36787944171... met y=0.6922...

Groeten,
Christophe.

Christophe
vrijdag 17 september 2004

Re: Re: Wat voor soort getal is x met xx=10

©2001-2024 WisFaq