Specifieke vraag voor tellen met oplossen via x1+x2 etc
Beste Wisfaq,
Onlangs hebben jullie en vraag van mij beantwoord over tellen (met x1+x2+..xn). Hier ben ik ver mee gekokmen, alleen nu heb ik nog een vraag waar ik niet uitkom. Het volgende is het probleem
De vraag stelling is in het engels:
"Two n-digit integers (leading zeros allowed) are considered equivalent if one is a rearrangement of the other. (For example, 12033, 20331 and 01332 are considered equivalent five digit integers.) If the digits 1,3,7 can appear at most once, how many nonequivalent five-digit integers are there?
Oke ik heb het volgende gedaan om toch maar even te laten zien in welke richting ik heb gedacht.
ik heb 10 getallen en daar moet ik een selectie van 5 uitmaken.
dus: x1+x2+..+x10 = 5
Als er dus GEEN rekening gehouden wordt met dat de cijfers 1,3,7 hoogstens 1x mogen voorkomen dan zijn er
(14 boven 5) mogelijkheden.
Maar nu moet ik rekening houden dat de getallen 1,3,7 hoogstens 1x voorkomen.
Dit kan dan op 3 manieren voorkomen namelijk:
1 van de {1,3,7} 2 van de {1,3,7} 3 van de {1,3,7} allemaal dus.
dus volgens mij als je de formule:
x1+x2+..+x10 = 5 wilt bijstellen dan moet je rekening houden met: x1=1 (er even van uitgaande dat er 1 van de set {1,3,7} tussen zit)
Die x1=1 moet je dan weer omschrijven in x1=2. waardoor je de formule kan bijstellen in:
x1+x2+..+x10 = 3
hier komt (12 boven 3) wat je dan weer met een factor 3 moet vermeningvuldigen omdat je 1 uit de set van {1,3,7} op 3 verschillende manieren kunt kiezen.
Tot nu toe heb ik dus:
(14 boven 5) - 3(12 boven 3) als je 1 van de set {1,3,7} hoogstens een keer laat voorkomen.
Ik weet niet of tot nu toe mijn beredenering goed is, maar ik geloof dat je op zo'n manier deze som wel kan oplossen. Dit moet dan ook worden gedaan voor 2 van de {1,3,7} en voor 3 van de {1,3,7}.
Dan moet er gekeken worden naar 2 van de set {1,3,7} dus krijg je zoiets als:
x1+x2+..+x10 = 5; x1=1 en x2=1 wat dus omgezet kan worden in : x1=2 en x2=2
Als je dit weer invult in de formule komt dat uit op
x1+x2+..+x10 = 1 ; xi=0; wat de uitkomst is: (10 boven 1).
Volgens mij ga ik ergens flink de mist in want op het moment dat ik: 3 van de set van {1,3,7} moet doen dan zou je een voorwaarde krijgen van:
x1+x2+..+x10 = -1 ; xi=0; (waar x1=2;x2=2;x1=3)
Hier raak ik het even kwijt. Mijn vraag is nu.. waar ik in mijn beredenering fout zit en HOE kun je dit vraagstuk oplossen via de x1+x2+x3..etc benadering. Overigens het antwoord moet zijn:
(11 boven 5) + 3(10 boven 4) + 3(9 boven 3) + (8 boven 2)
Maar ik geloof dat je ook andere getallen hieruit kan krijgen (doordat je met de x1+x2 etc benadering werkt)waardoor je juist van de (11 boven 5) dingen moet afhalen.
Zou het zeer op prijs stellen als jullie mij deze som duidelijk kunnen uitleggen waar bij de x1+x2..etc benadering wordt gebruikt
Alvast Bedankt!
Stefan
Student universiteit - woensdag 15 september 2004
Antwoord
Zoals je zelf ook al opmerkt, zijn er 4 verschillende situaties te onderscheiden: (1) Geen cijfers 1, 3 7 (2) 1 cijfer uit 1, 3,7 (3) 2 cijfers uit 1,3,7 (4) 3 cijfers uit 1,3,7 (allemaal) Voor ieder van deze situatie dien je het aantal te berekenen. Bij (1) is de vergelijking, omdat x1+x3+x7=0: x2+x4+x5+x6+x8+x9+x10=5. Dit is de term in het antwoord (11 boven 5)=462. Bij (2) is de vergelijking, omdat x1+x3+x7=1: x2+x4+x5+x6+x8+x9+x10=4.
=1 (er even van uitgaande dat er 1 van de set {1,3,7} tussen zit)
=2. waardoor je de formule kan bijstellen in: