\require{AMSmath}

Maximale inhoud piramide in een bol

In een bol met straal 6 cm wordt een loodrechte piramide beschreven met een vierkant als grondvlak. Bepaal de zijde van het grondvlak en de hoogte zó dat de inhoud maximaal is. (inhoud van een piramide = 1/3 x oppervlakte grondvlak x hoogte).
Kan iemand mij helpen?

Akçiçe
Overige TSO-BSO - dinsdag 14 september 2004

Antwoord

Hallo

Om je vraag te beantwoorden, maken we eerst een tekeningetje. Stel je een bol voor met de piramide erin, het ondervlak naar bovengericht. Vanboven bekeken ziet dat er dan zo uit:



Nu bekijken we eens de constructie van binnen uit. Stel je voor dat we naar het vlak kijken dat loodrecht staat op bovenstaande tekening en dat de groene lijn bevat. Dat ziet er dan zo uit:



Zoals u reeds aangaf is de inhoud van een piramide:

Volume= ¹/₃ x oppervlakte grondvlak x hoogte

De zijde van het ondervlak (=vierkant) van de piramide noemen we voortaan b. De hoogte van de piramide is h. Deze beide maataanduidingen ziet u ook op bovenstaande schets. Het volume wordt dan:

Volume= ¹/₃ · b² · h

We moeten de relatie zoeken tussen de hoogte (h) en de zijde van het vierkant (b) zodat dit volume maximaal is. Om dit te kunnen doen moeten we de formule van een piramide zodanig herschrijven dat we een formule bekomen in één variabele. We moeten dus een vaste relatie zoeken tussen b en h. Dit kan via Pythagoras in de $\Delta$ OAB (zie tekening). Omdat |OA|= R (de straal van de bol):

(^b/₂)²+ (h-R)² = R² We werken de haakjes uit:

^b2/₄+ h² + R² -2·R·h=R²

We vereenvoudigen:

^b2/₄+ h² + -2·R·h=0

We zoeken nu b² in functie van h:

b²=(2·h·R-h²)·4

De gezochte vaste relatie tussen b en h is dus gevonden. We stoppen deze nu in de formule voor de het volume van de piramide:

Volume(h)= (2·h·R-h²)·⁴/₃·h

We moeten nu het maximum zoeken van deze functie, door middel van de afgeleide naar h. Minima en maxima vinden we door de afgeleide gelijk aan nul te stellen. Probeer dat zelfs eens. U zal een extremum vinden voor h= ⁴/₃·R. Vergeet niet te controleren of het over een maximum gaat, danwel om een mimimum. Voor de volledigheid kan je de lengte van de straal R= 6 cm invullen. Gebruik de gevonden vaste relatie tussen b en h om b te bepalen. Vergeet je eenheden niet in het eindresultaat!

Groetjes en veel succes

Igor
dinsdag 14 september 2004

©2001-2024 WisFaq