\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 27153

Re: Verloop van functies

Bedankt voor deze verduidelijkende uitleg
maar één iets snap ik nog niet: ivm die buigpunten hoe je dat precies kan 'zien' ? (bepalen of de functie onder die raaklijn ligt)?

Sabine
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 9 september 2004

Antwoord

In een buigpunt zal de kromme de buigraaklijn 'snijden' (zie onderstaand voorbeeld met buigpunt in (1,-1)).

Voor x=2 wordt een maximum bereikt en ligt de kromme dus onder de (horizontale) raaklijn.
Noem f(x) de vergelijking van de kromme en g(x) de vergelijking van de raaklijn aan de rechterkant van nul, dan is f(1) = √7 en g(1) = √8, dus f(1)$<$g(1) en de kromme ligt onder de raaklijn.
Zo ook is f(¹/₂) = ^√31/₄ en g(¹/₂) = √2 (= ^√32/₄), dus de kromme ligt nog steeds onder de raaklijn.
Dus kun je aannemen dat er geen buigpunt is in het interval ]0 , 2[
Idem voor het interval ]-2 , 0[ wegens de symmetrie.

Voor een echt bewijs kun je het teken bepalen van f(x) - g(x) = √(8x²-x⁴) - √(8)x. Als je teller en noemer vermenigvuldigt met de toegevoegde tweeterm, krijg je in de teller -x⁴ en in de noemer een som van twee wortelvormen. Deze breuk is dus (in het interval ]0 , 2[) steeds negatief zodat je zeker weet de f(x) $<$ g(x) en dus de kromme onder de raaklijn ligt. Dus zijn er daar geen buigpunten.

LL
donderdag 9 september 2004

©2001-2024 WisFaq