\require{AMSmath}

Eenzelfde raaklijn aan twee krommen

Bepaal de vergelijking van de rechte/rechten die tegelijk raakt/raken aan de krommen met de vgl. y=x² en y=-x²+3x-2

Ik voerde eerst het volgende uit: Een willekeurig punt nemen op de eerste parabool. In dat punt de raaklijn zoeken aan de parabool. Een snijpunt trachten te vinden van deze raaklijn met de tweede parabool.

M.a.w.:

Willekeurig punt a op parabool1
Op zoek naar de raaklijn, dus eerst de afgeleide zoeken:
f'(a)=2a
vgl van de raaklijn:
T - y-f(a)=f'(a)(x-a)
T - y=2ax-a²

Deze rechte zou dus een snijpunt moeten hebben met de parabool maar hoe kan je dat vinden met deze onbekende?

Kunnen jullie me hiermee verder helpen?
Dank bij voorbaat...

Sabine
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 6 september 2004

Antwoord

Je begint goed. De beste start is inderdaad het bekijken van de afgeleide(n).
De lijn met vergelijking y = 2ax - a² moet nu raken aan parabool2.
Dus geldt voor het raakpunt aldaar (je schrijft dat zelf ook, 'snijden'):
2ax - a² = -x² + 3x - 2
Dit geeft
x² + (2a - 3)x - a² + 2 = 0
En die vergelijking heeft vanwege de raking twee gelijke x-en. Dus:
D = 0
En dan volgt hieruit de a (twee?) en dus ook de gezochte vergelijking(en)...

dk
maandag 6 september 2004

©2001-2024 WisFaq