\require{AMSmath}

Substitutiemethode integreren: ln(x)/x

Ik heb nog een vraag n.a.v. de uitleg van de substitutiemethode van het integreren.

Bij de integraal $\int{}$lnx/x dx = $\int{}$ln(x).1/x = $\int{}$ln(x)d(ln(x))=$\int{}$tdt=1/2t² + C = ¹/₂ (ln(x))²

Hier wordt voor T, ln x genomen, maar voor mijn gevoel gebeurt er dan alleen maar wat met 1 term i.p.v. 2 termen.

ook bij
$\int{}$sin(x).cos(x)dx = $\int{}$sin(x)d(sin(x)) = ... enz
hier wordt voor t sin x gebruikt...

Is dat altijd zo dat er maar 1 term g(x) =t gesteld?

Heel erg bedankt alvast..
Groetjes karin

karin
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 28 augustus 2004

Antwoord

Stel je hebt een functie f.
Voor een primitieve F van f moet gelden F'(x)=f(x).
Dit gaan we eens controleren voor f(x)=ln(x)/x met F(x)=¹/₂ln²(x).
We moeten nu dus F(x)=¹/₂ln²(x) differentieren.
Dit moet je doen met de kettingregel voor differentieren.
We krijgen dus: F'(x)=¹/₂×2ln(x)×de afgeleide van ln(x)=
¹/₂×2ln(x)×1/x=ln(x)/x en dat klopt.

Nemen we f(x)=sin(x)×cos(x) en F(x)=¹/₂sin²(x) en gaan we controleren, dan krijgen we:
F'(x)=¹/₂×2sin(x)×de afgeleide van sinx=
¹/₂×2sin(x)×cos(x)=sin(x)cos(x) en dat klopt.

Die substitutieregel bewandelt precies de ongekeerde stapjes om een primitieve te vinden en berust dus op het omkeren van de kettingregel voor differentieren.
Vandaar.

hk
zaterdag 28 augustus 2004

©2001-2024 WisFaq