ik moet het m bepalen zodat f(x) = (x2-16) / (x2+4m) een buigpunt heeft met abscis 2. Nu weet ik niet wat met abscis 2 bedoeld wordt. en die tweede afgeleide lijkt me zo ingewikkeld ... f'(x) = -4x2 + 8mx +32x + 64 / x4 + 8mx2 + 16m2 f"(x) = (8 x 5 -384 mx2 -24 mx4 -64 m2x2 + 128 m3 -96x4 + 512 m2 - 1024 mx) / (x2 + 4m)2
ik kan er echt niet meer aanuit... Bedankt ...
Sebast
3de graad ASO - maandag 23 augustus 2004
Antwoord
Met abscis wordt de x-coördinaat bedoeld. Dus het punt (a,b) heeft abscis (= x-coördinaat) a en ordinaat (= y-coördinaat) b. Wat je goed moet realiseren is dat m gewoon een getalletje is en dat 4m dus ook een gewoon getalletje is. En de afgeleide van een constante is 0. Verder is het belangrijk dat je de quotiëntregel goed kunt toepassen, namelijk (t(x)/n(x))' = n(x)·(t(x))' - t(x)·(n(x))'/(n(x))2. Dus f'(x) = (x2+4m)(x2-16)' - (x2-16)(x2+4m)'/(x2+4m)2 f'(x) = (x2+4m)(2x)-(x2-16)(2x)/(x2+4m)2 f'(x) = 2x3 + 8xm - 2x3 + 32x/(x2+4m)2 f'(x) = 8x(4+m)/(x2+4m)2.
Dus f''(x) = 8·(x2+4m)2·(4+m)-[x(4+m)·4x(x2+4m)]/(x2+4m)2 Het is misschien moeilijk voor je om [(x2+4m)2]' te bepalen, dat doe je m.b.v. de kettingregel 't gemakkelijkst, kies u(x) = x2+4m en y(u) = u2, dan is u'(x) = 2x en y'(u) = 2u = 2(x2+4m) en is u'(x)·y'(u) = 4x(x2+4m).
f''(x) = 8·(x2+4m)(4+m)(-3x2+4m)/(x2+4m)2.
We weten dat er een buigpunt is voor f''(2) = 0 dus in f''(x) vervang je de x door 2 en dit stel je gelijk aan 0, dus f''(2) = (4+4m)(4+m)(-12+4m)/(4+4m)2. Dit moet gelijk zijn aan 0, dus komt het neer op (4+4m)(4+m)(-12+4m) = 0 oplossen... MAAR de noemer wordt 0 als 4+4m = 0 en dit is ook een factor in de teller, dus m = -1 vervalt. Blijven m = -4 en m = 3 over. Toch is m = -4 geen optie want vul dat maar eens in de oorspronkelijke functie in, dan krijg je f(x)=1 (niet in x = ±4), en die functie vertoont geen buigpunten. Dus blijft m = 3 over.
Krijg je als oorspronkelijke functie f(x) = x2-16/x2+12. Dan wordt f''(x) = -168· x2-4/(x2+12)3. f''(2) is 0 en om er zeker van te zijn dat er een buigpunt is moet er een tekenwisseling plaatsvinden, dus f''(1,99) 0,001648827996 en f''(2,01) -0,001632422003. Er vindt dus een tekenwisseling plaats, en is er in het punt (2,-3/4) een buigpunt.
0,001648827996 en f''(2,01) 