ik weet niet hoe ik absolute waarde tekens moet weg werken
de opgave is |x2-9|en de vraag is onderzoek waar deze functie niet afleidbaar is en dat moet je dus doen met behulp van limietberekeningen maar ik weet niet hoe ik die absolute waardetekens weg moet krijgen
freder
3de graad ASO - zondag 22 augustus 2004
Antwoord
Beste Frederik,
De functie luidt f(x) = |x2 - 9|. Die absolute waarde strepen zorgen ervoor dat de functiewaarden groter of gelijk aan 0 zijn. Dus ongeacht welke waarde x2 - 9 aanneemt, de uiteindelijke functiewaarde is positief (of 0), dus indien x2 - 9 $>$ 0 dan is |x2 - 9| $>$ 0, indien x2 - 9 = 0, dan is |x2 - 9| = 0, en indien x2 - 9 $<$ 0 dan geldt ook dat |x2 - 9| $>$ 0. Dus bij x2 - 9 $\geq$ 0 verandert |x2-9| niet, dus daar geldt gewoon dezelfde functie (met oplossinginterval). Bij x2 - 9 $<$ 0 wordt de functiewaarde -(x2 - 9) want x2 - 9 is negatief, dus -(negatief) = positief, en dat doen die absoluutstrepen!
Wanneer is x2 - 9 = 0 $\Leftrightarrow$ x = ±3. Dus f(-3) = f(3) = 0.
Wanneer is x2 - 9 $>$ 0 $\Leftrightarrow$ x2 $>$ 9, dus x $\in$ ]-$\infty$,-3[ È ]3,+$\infty$[. Dus op die intervallen geldt dat de functie g(x) = x2 - 9 is. (Mocht je x2 $>$ 9 moeilijk vinden om op te lossen, teken dan eens de standaard dalparabool y=x2 en de horizontale lijn y=9 de x-waarden van de dalparabool boven die lijn voldoen!). Maar aangezien g(-3) = g(3) = 0 geldt dat op de intervallen ]-$\infty$,-3] È [3,+$\infty$[ de functie g(x) = x2 - 9 is.
Maar hoe gedraagt de functie zich tussen [-3,3] ? Laten we x2 - 9 $<$ 0 eens bepalen, dus x2 $<$ 9 en laat dat nou net ]-3,3[ zijn, dus de absoluutstrepen zorgen ervoor dat de negatieve functie positief wordt, dus h(x) = -(x2 - 9) = -x2 + 9 en omdat h(-3) = h(3) = 0 kun je net zo goed het interval [-3,3] beschouwen (maar -3 en 3 behoren niet tot de oplossing x2 - 9 $<$ 0 dat moge duidelijk zijn, maar in 't interval [-3,3] gedraagt de functie f(x)=|x2-9| zich wel als h(x)=-x2 + 9).
Nu weet je precies hoe de functie verloopt. Het opstellen van de afgeleiden in de intervallen ]-$\infty$,-3] , [-3,3] , [3,+$\infty$[ zal wel geen problemen opleveren.
Wanneer bestaat de afgeleide in een punt niet? Als de linker- en rechterafgeleide een verschillende waarde hebben. Waar zou dat in de functie f(x) het geval kunnen zijn? Let eens op de knikjes, meer zeg ik niet.
