In mijn vrije tijd deed ik wat onderzoek naar de relatie tussen de driehoek van Pascal en de priemgetallen. Ik kwam tot volgend inzicht:
Voor P$>$1 en P$\in$$\mathbf{N}$ geldt dat:
( P ) P=priem $\Leftrightarrow$ P is deelbaar door ( ) met k=1,2,...,P-1 ( k ) ( P ) P! NOOT: ( )= -------- ( k ) k!(P-k)!
Of met andere woorden: P is priem als alle getallen op de Pde rij in de driehoek van Pascal deelbaar zijn door P.
Bestaat hier een bewijs voor? Alvast bedankt
PS: Deze stelling geldt wél voor 341. PPS: Vorig vermoeden was een slechte afleiding van deze.
Joris
2de graad ASO - donderdag 15 juli 2004
Antwoord
Hallo Joris,
Die vaststelling klopt inderdaad. Het bewijs vereist een bewijs in twee richtingen, want je hebt een '$\Leftrightarrow$'.
De ene richting is vrij eenvoudig: 'als p priem is, dan is p een deler van elk getal in die bepaalde Pascalrij.' Bewijs: p is natuurlijk een deler van p!=1·2·...·p Maar p is geen deler van k!(p-k)! voor 1$<$k$<$p. Immers, k! is een product van allemaal factoren kleiner dan p, en (p-k)! is dat ook.
Dus bevat in de uitdrukking p!/k!(p-k)!, de teller WEL een factor p, en de noemer NIET. Dus is p er een deler van.
De andere richting vond ik heel wat lastiger. Je moet dan bewijzen, dat als q GEEN priemgetal is, dat dan q niet elk getal van die bepaalde rij deelt. Kijk daarvoor eens naar de rijen van 4,6,8,9,10,12,14,...
Voor 4: 1, 4, 6 Voor 6: 1, 6, 15 Voor 8: 1, 8, 28 Voor 9: 1, 9, 36, 84 Voor 10: 1, 10, 45 Voor 12: 1, 12, 66 ... Voor 15: 1, 15, 105, 455 ... Voor 35: 1, 35, 595, 6545, 52360, 324632
Het vetgedrukte getal is telkens het eerste waar het misloopt. Wat zie je nu? Bij even getallen loopt het mis bij het tweede getal na de 1. Bij 9 en 15 loopt het mis bij het derde getal na de 1. Bij 25 en 35 loopt het mis bij het vijfde getal na de 1.
Het valt dan ook te vermoeden dat je naar de kleinste priemfactor van je getal q moet kijken, noem die m, en dat het dan zal mislopen bij q!/m!(q-m)!
Bekijk even de Pascalrij: 1, q, q(q-1)/2, q(q-1)(q-2)/6,..., q(q-1)(q-2)...(q-m+1)/m!
Als je naar die laatste term kijkt, zie je dat de teller bestaat uit q, en daarnaast uit factoren die geen veelvouden zijn van m. Ha nee: q is een veelvoud van m, dus q-1 niet, q-2 ook niet,... en q-m+1 ook niet. q-m weer wel, maar die staat er niet.
De noemer daarentegen, bevat wel een factor m, want m is natuurlijk een deler van m!. Wat heb je dus gedaan? Je hebt q vermenigvuldigd met een aantal factoren die m niet bevatten, en vervolgens gedeeld door een aantal factoren waaronder m. Hieruit volgt dat dit getal uit de Pascalrij geen veelvoud is van q.
