Differentiaalvergelijking voor de inverse functies x(y)
Geachte meneer/mevrouw
Ik heb een aantal vragen betreffende een differentiaalvergelijking, het is een bepaalde opgave in ons boek. Sommige onderdelen heb ik kunnen beantwoorden, andere niet.
Ik hoop dat u mij kunt helpen de andere onderdelen op te lossen.
De te beschouwen differentiaalvergelijking is: x(1-y(x))y'(x)=sqrt(y(x)) op het gebied {(x,y)in R twee met y groter of gelijk aan 0}
Dus dan geldt toch?
ln(x)+2/3y(x)3/2-2sqrt(y(x))+C=0 met C is een constante. Ik heb ook een vectorveld bij deze diffentiaalvergelijking getekend maar blijf zitten met enkele vragen.
Vragen waar ik geen antwoord op weet:
Voor welke coördinaten (x,y) is de differentiaalvergelijking goed gedefineerd?
Voor welke coördinaten is niet aan de voorwaarden van de Existentie en Eenduidigheidstelling voldaan? Volgens mij is dit waar de differentiaalvergelijking continu is, toch?
Wat is de differentiaalvergelijking voor de inverse functies x(y)? Zou u mij dit stap voor stap kunnen uitleggen?
Bestaan er oplossingen die voldoen aan y(0)=1, y(0)=2, y(1)=1 voor de gewone differentiaalvergelijking of de inverse differentiaalvergelijking?
Beschrijf de oplossing(en) die voldoen aan y(-1)=0
geef het functievoorschrift x$\to$y(x)(of inverse y$\to$x(y)) en geef het definitie-interval x$\to$y(x) voor de bovenstaande voorwaarden y(0)=1, etc.
Ik hoop dat u mij kunt helpen.
bas
Student universiteit - woensdag 14 juli 2004
Antwoord
Hoi Bas,
Normaal is een differentiaalvergelijking gegeven in de vorm y'(x) = ... De vraag voor welke (x,y) de differentiaalvergelijking goed gedefinieerd is, moet je in dit geval opvatten als: wanneer gaat het herschrijven van de vergelijking tot y'(x) = ... (m.a.w.: oplossen naar y'(x)) goed? Voor sommige waarden van (x,y) ben je dan namelijk aan het delen door nul en dan hebben we dus geen "goed gedefinieerde" vergelijking voor y'(x).
Ik zou zeggen: pak je boek er bij en lees de voorwaarden voor de stelling. De preciese eisen kunnen van boek tot boek verschillen naar de manier waarop het bewijs geleverd wordt. Inderdaad is het o.a. nodig dat de functie voor y'(x) als functie van (x,y) continu is, maar dat is nog niet alles. In de meest gebruikelijke formulering moet deze functie namelijk ook nog locaal Lipschitz-continu zijn in y (varieert locaal niet harder dan lineair). Dat is bijvoorbeeld niet het geval in y=0, terwijl hij daar wel continu is.
Het idee van het werken aan de inverse is dat we niet y als functie van x oplossen maar x als functie van y. Op die manier kunnen we namelijk het probleem dat y'(x) niet gedefinieerd is voor y=1 en x=0 omzeilen. De inverse functie-stelling vertelt ons dat x'(y) = 1/y'(x(y)), overeenkomstig met het naieve idee dat dx/dy = 1/(dy/dx). Dit betekent dat we uit de differentiaalvergelijking voor y'(x) direct die voor x'(y) kunnen vinden door y'(x) te vervangen door 1/x'(y) (en y(x) door y, resp. x door x(y)).
Voor het bestaan van oplossingen in de punten (x,y)=(0,1),(0,2) en (1,1): het is al voldoende om deze punten in de differentiaalvergelijkingen in te vullen, wat zou y'(x) resp. x'(y) moeten zijn om aan de vergelijking te voldoen? En om te bewijzen dat er wel oplossingen bestaan kun je de locale existentie-stelling aanroepen...
Hier zit een addertje onder het gras: er zijn meerdere mogelijkheden!
Het oplossen van de vergelijking ln|x| = 2 y1/2 - 2/3 y3/2 - C naar x geeft je het functie-voorschrift x(y). Oplossen naar y gaat moeilijker. Maak eerst plaatjes om in te zien wat het definitie-gebied moet zijn.
Ik hoop dat deze hints je voldoende op weg helpen om zelf nog van het genoegen van het puzzelen te kunnen genieten. Laat het maar horen als je nog ergens vast blijft lopen. Succes, Guido Terra
