\require{AMSmath}

Het gemiddelde van een functie op een bepaald interval

Het gemiddelde van een functie op een bepaald interval kan men toch exact berekenen door de integraal van die functie op dat interval te delen door de intervalbreedte? Zo bedacht ik eergisteren tijdens het fietsen.

Dus bij de functie f(x)=x² krijgt men de 'gemiddelde functie' g(x)=¹/₃x², waarbij het interval 0 tot x gehanteerd wordt.

klopt dit? wat is het bewijs als het klopt, dat het klopt? bestaat het al? zo ja, hoe lang en door wie is het bedacht? de link met een snelheid-tijdgrafiek had ik al gelegd.

Arjun

Arjun
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 3 juli 2004

Antwoord

Het lijkt me meer een kwestie van een afspraak, dan dat er een bewijs voor kan worden gegeven.

De afspraak lijkt me wel logisch als je denkt aan de definitie van een integraal met behulp van Riemannsommen en aan de definitie van het rekenkundig gemiddelde.

Dus laten we afspreken:
Onder de gemiddelde hoogte van de grafiek van een functie op het interval [a;b] verstaan we _aò^bf(x)dx/(b-a).

Als de grafiek van f op [a;b] geheel boven de x-as ligt komt deze definitie neer op de hoogte van een rechthoek met breedte b-a die dezelfde oppervlakte heeft als de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x=a en x=b.

In de praktijk wordt deze definitie veel gebruikt.
Ik neem aan dat deze definitie vrij snel na de "ontdekking" van de integraalrekening is ingevoerd.

Zoals je zelf hebt gemerkt is dit een vrij logische generalisatie van het begrip gemiddelde en zullen velen op dezelfde gedachte zijn gekomen zodat het niet eenvoudig zal zijn de eerste ontdekker op het spoor te komen.
Maar wees niet teleurgesteld: je hebt nu zelf ervaren dat je wiskunde kunt "maken" i.p.v. alleen maar voorgekauwde dingen te leren.

hk
zondag 4 juli 2004

©2001-2024 WisFaq