\require{AMSmath}

Cirkel in ellips

Hoe kan ik "a" van een ellips bepalen bepalen opdat de cirkel juist binnen de ellips valt? (De ellips mag de cirkel niet snijden).

ellips: x²/a²+y²/35²=1 en cirkel: x²+(y-17.5)²=17.5²

a moet dus in ieder geval groter zijn dan 17.5

groeten,

Rolf

rolf
Student hbo - vrijdag 2 juli 2004

Antwoord

Hieronder zijn ellips en cirkel getekend voor a=20.



Naarmate a groter wordt zal de ellips breder worden en zullen de drie snijpunten over de cirkel naar elkaar toewandelen. Voor zekere waarde van a vallen de drie snijpunten samen in het punt (0,35).
We gaan cirkel en ellips met elkaar proberen te snijden.
Daartoe gaan we de vergelijkingen eerst wat vereenvoudigen.
De cirkel:
x²+(y-17.5)²=17.5² levert x²+y²-35y+17.5²=17.5² dit kunnen we omschrijven tot x²=35y-y².
De ellips:
x²/a²+y²/35²=1 kunnen we omschrijven tot 35²x²+a²y²=35²a².
Hierin vullen we x²=35y-y² in.
Dit levert:
35²(35y-y²)+a²y²=35²a²
35²(35y-y²)+a²y²-35²a²=0
35²y(35-y)+a²(y-35)(y+35)=0
(y-35)(-35²y+a²(y+35))=0
y=35 of -35²y+a²(y+35)=0
y=35 of (a²-35²)y+35a²=0
y=35 of y=-35a²/(a²-35²)
Je vindt dus altijd een gemeenschappeleijk punt met y=35.
y=-35a²/(a²-35²) mag nu geen oplossingen hebben waarvoor geldt 0y35.
Hieronder zie je een grafiek van y als functie van a:



De grenswaarde die hoort bij y=35 kun je vinden door -35a²/(a²-35²) gelijk te stellen aan 35.
-35a²/(a²-35²)=35 levert -a²/(a²-35²)=1
-a²=a²-35² dus 2a²=35² dus a²=35²/2, dus a=+/-35/Ö2
Conclusie er zijn geen andere gemeenschappelijke punten dan het punt (0,35) als geldt a35/Ö2 of als a-35/Ö2

hk
zaterdag 3 juli 2004

©2001-2024 WisFaq