Gegeven is dat de machtreeks $\sum$n=0$\infty$ cn(x+2)n absoluut convergent is voor x =1 en divergent voor x = -7. Dan geldt voor de machtreeks dat hij convergent is voor x=-5 en divergent voor x = 4 Kunt u mij deze conclusie uitleggen
Jasper
Student universiteit - donderdag 17 juni 2004
Antwoord
Je kunt het centrum van de machtreeks, hier x=-2, door een eenvoudige substitutie verleggen naar 0. Dan kom je op bekend terrein. Dat gaat als volgt. Stel y=x+2. Dus als x=1,-7,-5,4, dan (achtereenvolgens) y=3,-5,-3,6. De machtreeks $\sum$n=0$\infty$cnyn is dan volgens de gegevens absoluut convergent voor y=3, en divergent voor y=-5. Dus de convergentiestraal R van de machtreeks in y is minstens 3 en hoogstens 5. Het convergentiegebied (waarden van y) is (-R,R) of (-R,R] of [-R,R) of [-R,R] Omdat de convergentiestraal hoogstens 5 is, is de reeks voor y=6 (x=4) divergent. Omdat de machtreeks voor y=3 absoluut convergent is, is hij ook voor y=-3 (x=-5) absoluut convergent. Dit volgt uit de definitie van absolute convergentie.
