\require{AMSmath}

Vectorieel bewijs zwaartepunt

Hallo, kunnen jullie me helpen met hoe ik het bewijs moet aantonen van:

Z=¹/₃(A+B+C)?

Cedric
2de graad ASO - woensdag 16 juni 2004

Antwoord

Hoi,

Bekijk onderstaande tekening eens.

Ik heb maar één zwaartelijn (vanuit C op AB) getekend, die deelt AB middendoor (zie V-tekens). Verder is bekend dat de zwaartelijn in twee delen wordt verdeeld (door de andere niet-getekende zwaartelijnen) waarbij de delen zich verhouden als 2:1, oftewel één deel is ²/₃ van CM (altijd bij het hoekpunt waar de zwaartelijn 'vertrekt') en het andere deel is ¹/₃ van CM.
De gekozen O is de oorpsrong die mag je willekeurig kiezen. Eerst gaan we de plaatsvector van m bepalen.
OA + AB = OB $\Rightarrow$ AB = OB - OA, en aangezien AM = ¹/₂AB geldt AM = ¹/₂(OB - OA). Dus OA + AM = OM $\Rightarrow$ OA + ¹/₂(OB-OA) = OM $\Rightarrow$ OM = OA - ¹/₂OA + ¹/₂OB $\Rightarrow$ OM = ¹/₂(OA+OB).

Verder is OM + MC = OC $\Rightarrow$ ¹/₂(OA+OB) + MC = OC $\Rightarrow$ MC = OC - ¹/₂(OA + OB) $\Rightarrow$ MC = OC - ¹/₂OA - ¹/₂OB.

Ook is OM + ¹/₃ MC = OZ $\Rightarrow$ OZ = OM + ¹/₃(OC - ¹/₂OA - ¹/₂OB)
$\Rightarrow$ OZ = ¹/₂OA + ¹/₂OB + ¹/₃OC - ¹/₆OA - ¹/₆OB
$\Rightarrow$ OZ = ¹/₂OA - ¹/₆OA + ¹/₂OB - ¹/₆OA + ¹/₃OC
$\Rightarrow$ OZ = ¹/₃(OA + OB + OC)
$\Rightarrow$ z = ¹/₃(a + b + c).

Groetjes,

Davy.

Davy
donderdag 17 juni 2004

©2001-2024 WisFaq