hallo, ik maak een PO over 3e graadsvergelijkingen en ik wil graag weten waarom een 3e graadsvergelijkinge altijd 3 oplossingen heeft. ik weet dat dan sommige oplossingen complex zijn maar ik snap niet precies hoe dat zit.
voorbaat dank jeroen
jeroen
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 9 juni 2004
Antwoord
Beste Jeroen,
Elk polynoom van de graad n met coëfficiënten komende uit kan ontbonden worden in exact n factoren, waardoor er exact n wortels zijn. Dat is wat de De hoofdstelling van de algebra zegt. Dus elke derdegraadsvergelijking heeft graad = 3, en dus ook 3 wortels. Deze wortels kunnen reëel en/of complex zijn. Ook kunnen wortels samenvallen, bijvoorbeeld f(x)=x3 heeft 3 keer de wortel 0, dus x3 = (x-0)·(x-0)·(x-0).
Een voorbeeld: ontbind x3+6x in (lineaire) factoren. x3+6x = x(x2+6). Wat zijn de wortels? De factoren gelijkstellen aan 0, dus x=0 of x2+6=0. Dus x=0 is al één wortel, maar wat doen we met x2+6=0 Û x2=-6 Û x = ±Ö(-6) Û x = ±Ö((-1)·6)Û x = ± iÖ6. Dus x = iÖ6 en x = -iÖ6 zijn ook wortels. Dan hebben we alle wortels, en kan de functie ontbonden worden in (x-0)·(x+iÖ6)·(x-iÖ6) = x·(x+iÖ6)·(x-iÖ6).
kan ontbonden worden in exact n factoren, waardoor er exact n wortels zijn. Dat is wat de 