Ik heb hier een oefeningetje waar ik niet uitgeraak:
Zij P een punt op een kromme in E2. Zij T het snijpunt van de X-as met de raaklijn aan de kromme in P, en zij F de loodrechte projectie van P op de X-as. Bepaal alle krommen waarvoor de vector TF een constante vector is (en dus niet afhangt van het gekozen punt P).
Als ik stel dat P=(p1,p2), dan zie ik op een tekening dat F=(p1,0) en T=(t1,0). Ik twijfel wel over het feit of ik P op deze manier mag noteren (en of P zelf geen parameter is), want T kan ook geschreven worden als een punt op de kromme + een aantal keer de afgeleide van de kromme in dat punt. Ik zou kunnen schrijven: T=P+l.P', maar dit lijkt mij niet echt correct te zijn omdat ik P zelf afleid ipv de kromme in P. Maar ik weet ook niet echt of ik dit wel nodig heb om de oefening op te lossen. Hopelijk kunt u dit wat verduidelijken.
Mvg,
Tom
Tom
Student universiteit - woensdag 9 juni 2004
Antwoord
We zoeken dus een verzameling van krommen die aan de gegeven voorwaarde voldoen. Noem de functie van zo'n kromme k(x).
Stel co(P)=(x1,k(x1)), dan is co(F)=(x1,0).
De raaklijn in het punt P heeft als vergelijking :
y - k(x1) = Dk(x1).(x - x1)
Voor het punt T geldt dat y = 0, waaruit volgt dat
xT = x1 - k(x1)/Dk(x1)
De lengte van de vector TF is dus xF - xT = k(x1)/Dk(x1)
Dus zoeken we de functies k waarvoor geldt dat k(x)/Dk(x) constant is en dan denken we onmiddellijk aan de exponentiële functies ...
Re: Een oefening over krommen en een constante vector 