A moet 6 ogen gooien met 2 dobelstenen en I moet 7 ogen gooien
Als ik en een noch een ander met beurten werpen met 2 dobbelstenen, en besreken dat ik zal winnen, als ik 7 ogen gooi en hij zal winnen als hij 6 ogen gooit. mits dat ik hem de voorwerp geef: Te vinden in wat reden mijn kans tegen de zijne is.
Er is hier sprake van een rij worpen met 2 dobbelstenen, worp 1, worp 2, enz. A doet de worpen 1, 3, 5, ... (de oneven worpen) A mag dus beginnen I doet de worpen 2, 4, 6, ... (de even worpen ) A wint zodra hij 6 ogen gooit aangenomen dat bij de voorgaande even worpen er niet 7 ogen gegooid is. A kan dus winnen bij worp 1 (kans 5/36) of bij worp 3 (kans 31/36 maal 30/36 maal 5/36) of bij worp 5 etc. Door al die kansen op te tellen (een oneindige meetkundige reeks) vind je de kans dat A wint.
Dit is de oplossing die we tegenwoordig het meest tegenkomen. Huygens doet het heel slim en heeft geen oneindige reeks nodig. Dat gaat ongeveer zo:
Stel de kans dat A wint gelijk is aan a. Voor A zijn er 2 mogelijkheden om te winnen: 1. Meteen bij de eerste worp. kans 5/36 2. Bij de eerste worp gaat het mis, maar toch gaat hij uiteindelijk winnen. Dit betekent dat zijn tegen speler I bij worp 2 niet 7 gooit. Dus, worp1 geeft niet 6 en worp 2 geeft niet 7. maar dan is de toestand voor speler A weer hetzelfde als in het begin en dus zijn kans om te winnen weer a . De kans voor mogelijkheid 2 is dus (31/36)(30/36)病. De totale winstkans voor A krijgen we door de kansen van mogelijkheid 1) en 2) op te tellen: Dit geeft:
a = 5/36 + (31/36)(30/36)病
Hieruit bereken je a = 30/61, de kans voor A. Dus de kans voor I is 31/61, net iets meer. De kansen voor ik(I) en de ander(A) verhouden zich dus als 31 tot 30.
Hoe kom ik tot het laatste dikgedrukte...??? de rest snap ik wel redelijk...
Crisiu
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 7 juni 2004
Antwoord
Hoi Crisiu,
Eigenlijk staat er een soort vergelijking waarbij de linker- en rechterkant dus gelijk moeten zijn. Een a of sowieso een andere letter ziet er opeens eng uit, maar doe anders voor het gemak even alsof er geen a maar een x staat, en probeer dan de vergelijking op te lossen. Zo'n vergelijking pak je altijd op dezelfde manier aan: Alles wat op elkaar lijkt zet je bij elkaar, om het geheel wat toonbaarder te maken. In dit geval kijk je naar alles met een a erin en deze zet je aan de ene kant van het is-teken. Aan de andere kant van het is-teken zet je de rest (de getallen). Dit geeft:
a = 5/36 + (31/36)(30/36)病 a - (31/36)(30/36)病 = 5/36 (61/216)病 = 5/36 a = (5/36)/(61/216) = 30/61
(gebruik evt je rekenmachine om de breuken uit te rekenen!) Wellicht overbodig, maar de a voor het is-teken is eigenlijk 1病, dit verklaart de stap van regel 2 naar regel 3 in bovenstaande uitwerking.
a was precies de winkans van A. De kans dat I wint is daarom 31/61 (omdat de kansen van alle mogelijkheden opgeteld altijd 1 zijn, in dit geval zijn er maar 2 mogelijkheden I wint of A wint, en 30/61 + 31/61 = 1)
