Ik ben met een opgave bezig over bilineaire vormen. Ik heb in de eerste vier opgaven een grammatrix gevormd van bilineaire vorm: C(a1e1+a2e2+a3e3,b1e1+b2e2+b3e3)=a1b1+a1b2-a1b3+a2b1+a2b3-a3b1+a3b2-3*a3b3 daarvan heb ik vervolgens ook een diagonaalmatrix gevormd en bepaald wanneer C'~ C. Echter nu wordt bij de vijfde vraag gevraagd of ik bij C de bijbehorende kwadrtische vorm wil bepalen. Ik begin dus door op te stellen x12+2*x1x2-2*x1x3+2*x2x3-3*x32. Echter nu moet ik hiervan de 'diagonaalvorm' bepalen en dus overgaan op andere coordinaten (y1,...yn). IK snap alleen niet hoe ik dat doe, moet ik dan ook weer 2 y-coordinaten krijgen en hoe kom aan deze y-coordinaten?
een voorbeeld staat hier [url]http://www.math.kun.nl/~bosma/onderwijs/voorjaar03/LA3.ps[/url] onder kopje 3.2.7 (zit geloof klein foutje bij tweede afleiding, moet een extra term (2/5*x3^)2 bij)
bij voorbaat dank Erik
Erik
Student universiteit - zaterdag 5 juni 2004
Antwoord
Hallo Erik,
Als ik het goed begrijp moet je overgaan op y1,y2,y3 zodat je geen kruisproducten meer hebt, dus geen term in yiyj met i verschillend van j.
Opgave: x12+2x1x2-2x1x3+2x2x3-3x32
Kies er één x uit, bijvoorbeeld x1. De termen waarin x1 voorkomt, zijn x12+2x1x2-2x1x3 = (x1+x2-x3)2-x22-x32+2x2x3
Je hebt hierdoor wel een aantal termen toegevoegd, maar het belangrijke is dat je nu wat tussen de haakjes staat, y1 kan noemen, en in de rest van de uitdrukking staat dan geen x1 meer.
y12-x22-x32+2x2x3+2x2x3-3x32 = y12-x22-4x32+4x2x3
Nu doe je hetzelfde met x2: y12-(x2-2x3)2 = y12-y22
Je ziet dat je in dit geval slechts twee termen, dus slechts twee y-waarden overhoudt, waar je in het algemeen geval drie waarden verwacht.
