\require{AMSmath}

Vergelijking oplossen en poolcoördinaten

ik heb enkele vragen waar ik niet uitkom.
-los de vergelijking als Y²= -8i en z²=9I op
-bereken (½3+½i)^3 (uitkomst met behulp van poolcoordinaten en complexe e macht)
-laten zien dat je z=-3+2i ook in poolcoordinaten kan schrijven

alvast bedankt en hoop dat jullie me vaker kunnen helpen

oege s
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 6 april 2002

Antwoord

Ga uit van y=a+b.i
Kwadrateren geeft dan y²=a²-b²+2ab.i
Stel dit nu gelijk aan -8i.
Dat geeft a²-b²=0 en 2ab=-8
Uit de eerste van dit tweetal vergelijkingen vind je dan a=b of a=-b en combineer dit dan met de tweede vergelijking.
Uit a=b volgt 2a²=-8, wat niet kan met reële getallen.
Uit a=-b volgt -2a²=-8 zodat a=2 of a=-2 en dus b=-2 of b=2
Kortom: y=2-2i of b=-2+2i

De tweede vergelijking loopt hetzelfde.
Nu krijg je a²-b²=0 en 2ab=9
Uit a=b volgt 2a²=9 zodat a=b= ± 1½2
De mogelijkheid a=-b loopt binnen  weer op niets uit.

N.B. door uit te gaan van een complex getal in de gedaante z=r.e^(i. f ) kan het sneller, maar ik weet niet of je daarmee bekend bent. In de database kun je over deze aanpak andere voorbeelden vinden.

Je volgende vraag pak je aan door te zien dat de getallen
½3 en ½ de cosinus en sinuswaarden zijn van 30°.
Tot de derde macht genomen neemt het argument dan de waarde 90° aan, zodat de meetkundige voorstelling van de uitkomst een recht omhoog wijzende vector is naar het getal i.
Kortom: z³=i

En wat de derde vraag betreft: elk complex getal heeft een polaire vorm, dus ook z=-3+2.i
Teken vanuit de oorsprong maar een vector (=pijltje) naar het punt (-3,2) en je ziet de meetkundige voorstelling van z voor je neus.
De lengte van de vector=de modulus van z = |z|= 13 volgens de aloude Pythagoras.
En de hoek die de vector met de positieve x-as maakt heeft een tangenswaarde gelijk aan -2/3, zodat je via de rekenmachine de bijpassende hoek in radialen of graden weet.
Je vindt iets meer dan 146° voor het argument.

MBL
zaterdag 6 april 2002

©2001-2024 WisFaq