Verschilrij Rij: 23,14,8,5,.... Hoe stel ik bij deze verschilrij een rangnummerformule en een recursievergelijking op?
Wesley
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 5 april 2002
Antwoord
Het gaat om de rij: 23,14,8,5,.... De verschilrij hiervan is: -9, -6, -3, .. Deze verschil rij is een rekenkundige rij De oorspronkelijke rij is dus een kwadratische !
Eerst maar eens een formule voor de verschil rij: -9, -6, -3, 0, 3
De eerste term is -9 en het loopt steeds met stapjes van 3 op dus : v(n) = 3n-12 (ga maar na !)
Als je nu bijv het 37ste getal van de (oorspronkelijke)rij weet kun je het 38ste berekenen. Immers v(37)= 3·37-12 en t(38)=t(37)+√(37) Algemeen: t(n+1)=t(n)+v(n) Controleer maar met het begin van de rij t(1) = 23 ; v(1) = -9 t(2) = 23+ -9 =14 t(3)= 8; v(3) = -3 ; t(4)= 8+ -3 =5
Om een directe (rangnummer) formule te maken zijn allerlei mogelijkheden. Een mooie is de volgende Wanneer de eerste 3 verschillen optelt bij de eerste term kijg je de vierde: Kijk maar -9 + -6 + -3 = -18 en 23 + -18 = 5 Wanneer je de 100ste term wilt uitrekenen moet je dus de eerste 99 verschillen optellen bij 23 De som van de eerste 99 verschillen is: -9+-6+-3+0 +3......+ 285 (denk aan de formule 3n-12) Dit is eenvoudig uit te rekenen 50x(-9+285) [paartjes maken, of eventueel de somformule voor een rekenkundige rij]
Zo kun je ook de som van de eerste (n-1) verschillen berekenen v(1)=-9 v(n-1)=3(n-1)-12=3n-15
de som hiervan is 1/2·(n-1)(-9+3n-15) = 1/2·(n-1)(3n-24)
Als je dit optelt bij 23 heb je een rangnummerformule. Het verder uitwerken mag je zelf doen.
