\require{AMSmath}

Tweede afgeleide

Ik loop vast bij het berekenen van de tweede afgeleide mbv de productregel:

functies:
f=x²+2
g=x³+3x

Eerste afgeleide:
[f·g]’ = f·g’+f’·g
(x²+2)·[x³+3x]’+[x²+2]’·(x³+3x)

Tweede afgeleide:
[f·g’+f’·g]’ = f'·g'+f·g + f·g+f'·g'

verder dan dit kom ik niet... ik vraag me af wat ik met die f en g aanmoet...

Lilian
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 27 mei 2004

Antwoord

Beste Lilian,

hernoem de afgeleide functies; f'=h en g'=k, je krijgt dan:
[f·g]'=f·g'+f'·g=f·k+h·g en dus [f·g'+f'·g]'=[f·k+h·g]'=[f·k]'+[h·g]'=f·k'+f'·k+h·g'+h'·g.
Vul nu weer voor h=f' en voor k=g' in, zodat: [f·g]"=f·(g')'+f'·g'+f'·g'+(f')'·g=f·g"+f'·g'+f'·g'+f"·g=f·g"+2·f'·g'+f"·g.

Controleer met de geven functies:
[f·g]'=(x²+2)·[x³+3x]’+[x²+2]’·(x³+3x)=(x²+2)·(3x²+3)+2x·(x³+3x)=3x⁴+3x²+6x²+6+2x⁴+6x²=5x⁴+15x²+6.
Dus [f·g]"=[5x⁴+15x²+6]'=20x³+30x.

En met de formule die we zojuist hebben gevonden:
[f·g]"=f·g"+2·f'·g'+f"·g=(x²+2)·[x³+3x]"+2·[x²+2]'·[x³+3x]'+[x²+2]"·(x³+3x)=(x²+2)·(6x)+2·(2x)·(3x²+3)+(2)·(x³+3x)=6x³+12x+12x³+12x+2x³+6x=20x³+30x.

Je ziet dat de "recht-toe-recht-aan - methode" hetzelfde resultaat geeft als de "substitutie - methode" (die met de k-tjes en h-tjes). Ondanks het schrijfwerk hoop ik dat je er blij van wordt ! Reken het desnoods zelf nog na. Succes!

Sander
donderdag 27 mei 2004

©2001-2024 WisFaq