\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 6778

Re: Cardano bijna ontrafeld

Ik heb begrepen dat elke u die berekent wordt, dus de plus-variant en de min-variant, drie uitkomsten krijgt met behulp van complexe getallen, ( hier heet u maar een oplossing )
wilt u ALSTUBIEFT ( want ik loop hier echt vast )

met deze u : ³Ö(6+ (35/9)i Ö(3)) en deze u : ³Ö(6+ (35/9)i Ö(3)) de drie uitkomsten van elke u met behulp van de complexe getallen weergeven, en zeggen hoe u dat heeft gedaan want ikzelf kom er niet uit.

Sebaha
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 24 mei 2004

Antwoord

Beste Sebahat,
Goed ik doe er eentje voor je :-)
We willen de derde machts wortel uit 6 + 35/9·Ö(3)·i vereenvoudigen.

(zie ook stuk van CardanoOplossing pg 37 en evt. voorbeeld pg 62,63)

Er geldt algemeen:
(a+bi)³=a³-3ab²+i(3a²b-b³)
Er moet dus nu gelden dat:
a³-3ab = 6 en
3a²b-b³ = 35/9·Ö(3)

Er volgt eenvoudig uit a³-3ab = 6 dat b = ±Ö((a³-6)/(3a))

Als er een 'mooie' oplossing is dan moet a een deler zijn van 6. De delers van 6 zijn 1, 2, 3 en 6, maar ook -1, -2, -3 en -6.
Deze allemaal een voor een invullen in b = ±Ö((a³-6)/(3a)) en het resultaat invoeren in 3a²b-b³ is dit gelijk aan 35/9·Ö(3) dan hebben we de 'a' gevonden en dus ook b.
Het zal blijken dat dit werkt bij a=2. Dit geeft voor b:
b = ±Ö((a³-6)/(3a))
= ±Ö((8-6)/6)
= ±Ö(1/3)
= ±1/3Ö(3)
Nu de - variant zal niet werken, maar de + variant wel:
b = 1/3Ö(3)
Invullen in 3a²b-b³ geeft:
3·2²·1/3Ö(3)-(1/3Ö(3))³
= 4Ö(3)-1/9·Ö(3)\
= (3+8/9)Ö(3)
= 35/9 Ö(3)

Goed dat klopt dus, ofwel ³Ö(6+35/9·iÖ(3)) is dus gelijk aan 2 + 1/3Ö(3)·i

Dat is er dus eentje. Nu nog de andere twee.

(analoog weer aan algemene manier in stuk zoals link hierboven pg 36)

De tweede wordt dan:
-(2 + 1/3Ö(3)·i)/2 + i·(2 + 1/3Ö(3)·i)·Ö(3)/2
Eerst maar het linkerdeel:
-(2 + 1/3Ö(3)·i)/2 =
-1 - 1/6Ö(3)·i

Het rechterdeel:
i·(2 + 1/3Ö(3)·i)·Ö(3)/2
= (2i - 1/3Ö(3))·Ö(3)/2
= 2Ö(3)i - 1)/2
= Ö(3)i - 1/2

Dit nu samenvoegen geeft:
-1 - 1/6Ö(3)·i + Ö(3)i - 1/2
-3/2 + 5/6Ö(3)·i

De derde en laatste is dan:
-(2 + 1/3Ö(3)·i)/2 - i·(2 + 1/3Ö(3)·i)·Ö(3)/2
Deze is dus zo goed als analoog aan de tweede oplossing alleen nu vanelkaar aftrekken, geeft:
-1 - 1/6Ö(3)·i - (Ö(3)i - 1/2)
= -1/2 - 7/6Ö(3)·i

Et voila dat zijn ze dan alle drie.

M.v.g.
PHS

PHS
maandag 24 mei 2004

©2001-2024 WisFaq