Een vraag van het eindexamen van 2001 is me niet helemaal duidelijk, een vraagje erover. In de vraag is een grafiekje getekent met de daarbij horende formule (c = 32e(tot de: -0.5t+0.5) ofwel 32e^-0.5t+0.5). Door primitiveren kun je dan binnen bepaalde grenzen natuurlijk de oppervlakte gaan bepalen, echter gebeurt het in deze vraag ook aan de hand van een rij. Het vlakdeel onder de grafiek wordt opgedeeld in verschillende trapezia waar uiteraard voor de oppervlakte voor geldt: 0.5 ·(ck+(ck+1))·dt. Echter moet nu worden bewezen dat de het gebied onder de grafiek gelijk is aan: (0.5(c0 + cn) + åvan n-1 termen met beginterm p=1 en de directe formule cp)·dt. Als het niet helemaal duidelijk is, de startwaarde is c0 alles wordt in bovenstaande formule vermenigvuldigt met stapgrootte dt. Ik zou met name graag willen weten waarom n-1 termen geldt in dit geval en of dit misschien iets te maken heeft met het feit dat dit een rij is waarvoor geldt n= 0,1,2,3....... en juist NIET n= 1,2,3,4.......?? Verder zou ik het fijn vinden als je de formule oook gewoon even uit kunt leggen, bedankt
Jop
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 22 mei 2004
Antwoord
Hoi Jop,
De formule voor de trapeze kan je berekenen door de trapeze te splitsen in een rechthoek en een driehoek. Beide oppervlakken uitrekenen en optellen, en dat levert de genoemde formule. Vervolgens vragen ze naar de som van de trapezes. De voorste trapeze begint bij to, en de laatste eindigt bij tn. Hiertussen zitten n-1 trapezes, wat de n-1 verklaard. Het maakt zodoende niet uit of je de eerste waarde n0 of n1 noemt, het gaat om het verschil tussen de eerste en de laatste term. Ze geven aan dat je bij 0 begint en bij n eindigd en hiertussen zitten n-1 stukjes.
Dit verklaart in ieder geval een stukje van de formule. Je moet dus de som van alle tussenliggende trapezes nemen en laten zien dat dit gelijk is aan de gegeven formule:
Verklaring: neem de som van de trapezes en vervolgens haal je Dt hierbuiten. Deze is immers onafhankelijk van de waarde van p en komt in elk stukje voor. Als je de formule uitschrijft staat er eigenlijk dat je elke keer 1/2(cp + cp+1) doet en deze bij elkaar optelt. Omdat p elke keer 1 waarde hoger wordt, tel je voor elke cp twee keer een halve bij elkaar op, wat neerkomt op gewoon 1 keer cp. Uitzondering zijn de eerste en de laatste waarden, nl c0 en cn, vandaar dat deze los in de formule gezet moeten worden. In bovenstaande formules staan overdreven veel haakjes om het principe duidelijk te maken. Als je de laatste formule in een andere volgorde zet, staat er precies hetzelfde als in de opgave. Hopelijk is het zo iets duidelijker!
