\require{AMSmath}

Bisectrices

Hallo, ik moet een bewijs geven voor wiskunde. gegeven een cirkel met daarin een driehoek met de punten op de cirkel. Als je dan de bisectrices tekent van de driehoek en een punt van de driehoek beweegt over de cirkel zal het snijpunt van de bisectrices een soort maan vorm beschrijven. hoe kan in dit bewijzen?? wie wil mij helpen??
xxx karin p.s. alvast bedankt

karin
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 2 april 2002

Antwoord

Even de volgende afspraken: de driehoek noemen we ABC, het snijpunt van de drie bissectrices noemen we I (van Ingeschreven cirkel) en we laten punt C over de omgeschreven cirkel lopen.
Hoek C is een omtrekshoek die tijdens de beweging van C niet verandert (want hij blijft constant op boog AB staan).
Let nu eens op hoek I in driehoek ABI.
Voor deze hoek geldt dat hij gelijk is aan 180°-½A-½B=180°-(90°-½C)=90°+½C

Hier wordt overigens gebruik gemaakt van
½A+½B+½C=90°

De conclusie is dus dat je zijde AB vanuit punt I ook steeds onder dezelfde hoek ziet.
En als je een lijnstuk AB steeds onder dezelfde hoek ziet, dan bevind je je op een cirkel waar AB koorde in is. Denk maar aan de stelling van Thales, al gaat het dan over een hoek van 90°.

Onderscheid moet nog gemaakt worden voor de twee kanten van AB waar punt C zich kan bevinden. Het verhaal blijft wel hetzelfde, maar de bedoelde cirkelboog verspringt.

Je hebt vast en zeker de beschikking over het programma Cabri. Het loont de moeite om de situatie eens te tekenen en punt C daadwerkelijk rond te laten gaan. Als je dan bovendien het spoor van I laat tekenen, dan zie je wat er gebeurt.

Zie Cabri-voorbeeld

MBL
woensdag 3 april 2002

©2001-2024 WisFaq