\require{AMSmath}

Groepentheorie

Zij G een groep met #G = p^k, met p priem;
bewijs dat het centrum van G ongelijk is aan het triviale geval.

Hoe moet ik dit bewijzen??

Mark R
Student universiteit - dinsdag 11 mei 2004

Antwoord

Hallo Mark,

Uit het ongerijmde: stel dat e (de eenheid) het enige element is dat commuteert met alle elementen van G.

Dus g^-1eg=e "gÎG
Maar "fÎG\{e} $gÎG: g^-1fg¹f

Bekijk nu de banen onder toevoeging (conjugatie). Dit betekent dat je een element a uit G kiest, en de volgende verzameling beschouwt:
{g^-1ag, gÎG}

Je hebt waarschijnlijk gezien (en het is eenvoudig te bewijzen) dat twee elementen a en b ofwel in elkaars baan zitten, en dan is de baan van a gelijk aan die van b; ofwel zijn de banen van a en b disjunct. En bovendien zal de unie van de banen volledig G zijn. Met andere woorden: de banen vormen een partitie van G.

Bovendien is het aantal elementen in een baan altijd een deler van de orde van G (en in dit geval dus een macht van p). Dit is niet zo lastig te bewijzen, en het staat afgeleid op http://www.math.rutgers.edu/courses/551/551-f02/lec2.pdf

Nu zie je de strijdigheid: de orde van G is de som van de ordes van alle banen. Voor het element e is de orde van de baan juist 1. Voor elke andere baan is de orde van de baan niet 1, dus wel een hogere macht van p. Waarom niet 1? Stel f¹e, dan
e^-1fe=f
Maar er bestaat een g zodat g^-1fg=h¹f
Dus je hebt al zeker twee elementen in die baan.

Je krijgt dus |G|=p^k=1 + (machten van p(exp0))
Bekijk die gelijkheid modulo p en dan staat er 0=1...

Groeten,
Christophe.

Christophe
dinsdag 11 mei 2004

©2001-2024 WisFaq