De rest bij deling door 7 is in het decimale stelsel moeilijk te bepalen. Als je dit in het octale stelsel moet doen, is dat dan makkelijker en hoe kan je dit dan doen? Ik hoop dat u mij hiermee kan helpen, bij voorbaat dank.
renate
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 10 mei 2004
Antwoord
Eerst wil ik iets zeggen over rekenen in andere talstelsels. Rekenen in een ander talstelsel dan het decimale dat wij gewoon zijn is niet zo gemakkelijk. Rekentechnieken zijn dezelfde, maar o.a. de tafels van vermenigvuldiging moeten opnieuw ingestudeerd worden. Als voorbeeld maak ik een eenvoudige vermenigvuldiging in het octale stelsel (cijfers van 0 t.e.m. 7). Neem bvb 236·7. (Opgelet 236 en 7 dus ook in het octale stelsel). We gaan cijferen. 6·7=52(!). Schrijf dus 2 en onthoud 5. 3·7=25, tellen we er 5 bij op, krijgen we 32. Schrijf 2 en onthoud 3... Het resultaat wordt uiteindelijk 2122.
Om nu op je vraag terug te komen. Ik veronderstel dat je met deling door 7 in het octale stelsel de 7 bedoeld als je de cijfers van 0 t.e.m. 7 neemt in het octale talstelsel, zoals ook ik ze logischerwijs gebruik. Resten bepalen bij deling door 7 is inderdaad gemakkelijk (7 heeft hier de analoge betekenis van hoogste cijfer als de 9 in het decimale talstelsel), maar we moeten wel volledig octaal rekenen. In het octale stelsel is een getal deelbaar door 7 als de som van de cijfers deelbaar is door 7. (Dit is eenvoudig aan te tonen). Je moet natuurlijk wel octaal tellen! En dus vinden we door herhaaldelijk de cijfers op te tellen de rest bij deling door 7. Omdat octaal tellen moeilijk is is het beter om hier ook tijdens tellen wanneer je ergens meer dan 7 uitkomt onmiddellijk 7 ervan af te trekken. Neem bvb 22123651 (octaal). Tel de cijfers op: 2+2+1+2 (vormt 7, dus weglaten), 0+3+6 (dus 2), 2+5 (valt weg), 0+1=1, dus rest 1.
Bij een vermenigvuldiging kan je ook een zevenproef uitvoeren (waarbij we dus octaal aan restrekenen bij deling door 7 doen (rekenen modulo 7)). Om bvb onze eerste vermenigvuldiging 236·7=2122 te controleren: 236 $\to$ 4 maal 7 levert 34 (octaal), 3+4 $\to$ 0. En de uitkomst 2122: 2+1+2+2 $\to$ 0; 0 is 0, dus de zevenproef bevestigt het resultaat.
Conclusie is dat een ander talstelsel dus op dezelfde manier werkt als het decimale. Het decimale is niet beter of slechter dan een ander, (naast het feit dat de getallen bvb binair erg lang worden en we in pakweg een dertigtallig talstelsel erg veel cijfers hebben).
