We moesten veschillende vragen beantwoorden maar van deze 2 snapte ik niet veel. Vraag: Een getal van de vorm 2 tot de macht n, - 1(met n een natuurlijk getal) dat bovendien een priemgetal is heet een Mersenne-priemgetal.
Ga na dat voor positieve gehele getallen a en b geldt:
(2tot de macht a, -1)(2 tot de macht a (tot de macht b-1)+ 2 tot de macht a (b-2)+ ... + 2 tot de macht a·2 + 2 tot de macht a, + 1) = 2 tot de macht ab, - 1
Leid daaruit af dat dat 2 tot de macht n - 1 een Mersenne priemgetal kan zijn als n een priemgetal is. (Een natuurlijk getal p 1 heet een priemgetal als p alleen door p en 1 deelbaar is)
Annita
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 10 mei 2004
Antwoord
Dag Annita,
Als n=ab met a,b1 (dus n is geen priemgetal), dan kan je voor 2n-1 een ontbinding vinden, met andere woorden dan is 2n-1 geen Mersennepriemgetal.
Hoe bewijs je nu die ontbinding? Wel, je kent allicht wel het volgende merkwaardige product:
(xn-yn)=(x-y)(xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+xyn-2+yn-1)
Werk het product in het rechterlid maar eens uit, dan zie je dat je juist op het linkerlid uitkomt.
Vul hier eens y=1 in, en noem die uitdrukking (*)
Nu terug naar de opgave. Stel n=ab. Dan 2n = (2a)b=xb waarin ik x=2a stel, dus x2. Dus 2n-1 = xb-1 Gebruik nu (*) om xb-1 anders te schrijven, en je zal merken dat je een ontbinding krijgt in factoren.
Dus als n geen priemgetal is, dan is ook 2n-1 geen priemgetal. Of anders uitgedrukt: een Mersennegetal kan ALLEEN een MersennePRIEMgetal zijn als n priem is.
Bovendien, als n geen priemgetal is dan levert deze redenering meteen twee delers op, namelijk 2a-1 en 2b-1. Ga dit bv eens na voor n=6=2*3=a*b.
1 heet een priemgetal als p alleen door p en 1 deelbaar is)
