Hoe moet je, als er een cirkelbeweging wordt beschreven, de bijbehorende formules daaruit afleiden?? Bijv. cirkel met middelpunt (3,4) en straal 2. De cirkel wordt in pos. richting doorlopen met een hoeksnelheid van 1,5 rad/s. Op t=0 bevindt P zich in (1,4). Ik moet de formules geven die 'deze beweging beschrijven'. Hoe?
Annemi
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 6 mei 2004
Antwoord
Kijk en bestudeer eerst even hoe dit probleem er in de meest eenvoudige situatie uit zou zien: cirkel met middelpunt (0,0) en straal 1, beginnend te draaien vanuit het punt (1,0) in positieve draairichting (dus tegen de wijzers van de klok in. (schets dit eens) Dan zou je hebben: x=cost y=sint
Kijk goed: Op t=0 is de x=1 en is de y=0 Wanneer t nou ietsje groter wordt, wordt de x ietsje kleiner (schuift op naar links) en wordt de y ietsje groter (schuift op naar boven). Laat t nog eens wat groter worden... en nog weer eens wat groter. Wat gebeurt er? het x-middelpunt is 0 en de cos-term zwabbert tussen +1 en -1. Evenzo voor de y-term en de sinus.
Nu is het middelpunt niet (0,0) maar (3,4). Bovendien is de straal 2. Dus het x-middelpunt is nu niet 0 maar 3, en het y-middelpunt is nu niet 0 maar 4. Teken deze cirkel nu ook eens.
Dus heb je al iets als: x=3+2cost y=4+2sint
De middelste x-waarde is dus 3 en de uiterste x-waarden zijn 3-2=1 en 3+2=5 (wijs aan) De middelste y-waarde is 4 en de uiterste y-waarden zijn 4-2=2 en 4+2=6 (wijs aan).
Nu zitten we nog met het probleem dat de cirkelbeweging niet begint op een punt rechts van het midden van de cirkel (zoals in het 'eenvoudige' beginvoorbeeld) maar juist LINKS van het midden van de cirkel. We moeten het punt dus een halve slag VOORUIT draaien over de cirkel: Dit betekent dat we bij elke t een hoeveelheid p moeten optellen: x=3+2cos(t+p) y=4+2sin(t+p)
Tot slot: de snelheid is 1,5 rad/sec. dwz dat na t=1 sec de cirkel over een hoek 1,5 rad moet zijn verdergedraaid. Dit betekent simpelweg de t vermenigvuldigen met 1,5.:
x=3+2cos(1,5.t+p) y=4+2sin(1,5.t+p)
Telkens als t precies '1' groter wordt, wordt de gehele term die tussen de haakjes staat '1,5' groter. Dus de cirkelbeweging wordt uitgevoerd met 1,5 rad in iedere 1 sec.
