Er is mij gevraagd te bewijzen dat lim n®¥ ln n/( nk) = 1/k·((ln(nk))/nk), en daarna dan hiermee te bewijzen dat lim n®¥ ln n/(nk) = 0, maar ik vind dit heel moeilijk, dus zou u mij misschien kunnen helpen? Alvast bedankt
Tjeerd
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 27 april 2004
Antwoord
Dag Tjeerd,
ln(nk)=k·ln(n) (eigenschap logaritme) Meer dan dat heb je niet nodig om die omzetting te doen.
Het voordeel daarvan is dat je iets krijgt van de vorm: 1/k · ln(x)/x met x=nk en als n naar ¥ gaat, dan doet x dat ook voor elke k0.
Nu, wat is lim(x®¥) ln(x)/x ? Invullen levert ¥/¥ dus kan je de regel van de l'Hôpital toepassen: teller afleiden geeft 1/x, noemer afleiden geeft 1.
De oplossing wordt dus 1/k · 1/x voor x naar oneindig wordt dit nul.
Merk dus op dat dit betekent dat ln(n) gedeeld door eender welke postieve macht van n, altijd naar nul gaat. Dus zelfs de miljardstemachtswortel van n wordt op oneindig zodanig veel groter dan ln(n), dat het quotiënt naar nul gaat.
Groeten, Christophe.
PS je kan het ook op een andere manier bewijzen: ln(x)/x is positief, maar stel dat de limiet niet nul is maar wel p(0)
lim(ln(x)/x2)=1/2 · lim(2ln(x)/x2) voor x naar oneindig = 1/2 · lim(ln(x2)/x2) voor x naar oneindig = 1/2 · lim(ln(t)/t) voor t naar oneindig = p/2
De afgeleide van f(x)=ln(x)/x is: (1-ln(x))/x2 = 1/x2 - ln(x)/x2 Laten we x naar oneindig gaan, dan wordt dit: 0 - p/2 (net uitgerekend) = -p/2
Je hebt dus een functie die vanaf x=e, f(x)=1/e moet dalen, die convergeert op oneindig naar een getal p0, en die op oneindig toch nog een raaklijn heeft met richtingscoëfficiënt die nadert naar een welbepaald negatief getal -p/2... Dat kan niet.
0.